判別分析法（大津の二値化）

判別分析法【discriminant analysis method】は大津の二値化とも言われ、分離度（separation metrics）

という値が最大となるしきい値を求め、自動的に二値化を行う手法です。

分離度はクラス間分散（between-class variance）とクラス内分散（within-class variance）
との比で求める事ができ、以下の様に求めます。

しきい値　ｔ で二値化したとき、しきい値よりも輝度値が小さい側（黒クラス）の画素数をω₁、
平均をm₁、分散をσ₁、輝度値が大きい側（白クラス）の画素数を画素数をω₂、平均をm₂、
分散をσ₂、画像全体の画素数をω_t、平均をm_t、分散をσ_tとしたときクラス内分散σ_w²は

クラス間分散σ_b²は

としてあらわす事ができる。

ここで、全分散（total variance）σ_tは

としてあらわす事ができることから、求めるクラス間分散とクラス内分散との比である分離度は

となり、この分離度が最大となるしきい値 t を求めればよい。
ここで、全分散σ_tはしきい値に関係なく一定なので、クラス間分散σ_b²が最大となるしきい値を
求めればよい事が分かる。
さらにクラス間分散の式の分母もしきい値に関係なく一定なので、クラス間分散の分子

  ω₁ ω₂ (m₁ – m₂)²

が最大となるしきい値　t を求めればよい。
結局、分散とか関係なく、黒、白それぞれの領域のヒストグラムから、画素数ωと輝度値の
平均値ｍから上記の値が最大となるしきい値 ｔ をしらみつぶしに求めればいいので、以外と簡単．．．

【処理例】

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上記例のように、判別分析法はおおむね良好な結果を得る事ができます。

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