グラフ(関数)の拡大縮小、平行移動

拡大、縮小

XとYであらわせる関数

 

 

X軸方向に SxY軸方向に Sy 倍の拡大縮小すると

 

 

となります。

(拡大の場合、Sx,Syは1以上、縮小の場合、Sx,Syは1以下となります。)

 

回転移動

関数 f(X,Y)を原点周りにθ度回転すると

 

 

となります。

 

平行移動

関数 f(X,Y)をX軸方向に TxY軸方向に Ty だけ平行移動すると

 

 

となります。

 

拡大縮小してから平行移動した場合は

 

 

となります。

 

考え方

グラフ(関数)を拡大、縮小、回転、平行移動するときに、実際にX、Yの値の変換は全て逆!つまり

 

拡大の場合 縮小
θ度回転の場合 -θ度回転
+方向へ移動の場合 -方向へ移動

 

の処理をしています。
何だかとっても違和感がありますが、グラフ(関数)を移動していると思うのではなく、グラフ(関数)はそのままに、XY軸を変換していると思うと、少しはしっくり来るでしょうか...

 

 

また、拡大縮小、回転、平行移動を同時に行う場合は、変換の順番に注意が必要です。

行列の計算と同じように、計算の順番が異なると計算結果も異なります。基本的には

 

拡大縮小 ⇒ 回転 ⇒ 平行移動

 

の順番で変換を行うのが、一番よいでしょう。

もちろん、分かっていて別の順番で変換するのは構いません。

 

具体例

半径1の円の式、グラフは

 

 

となり、このグラフをX軸方向に Sx 、Y軸方向に Sy 倍の拡大縮小すると

 

となります。

 

式を変形すると楕円の公式そのものとなります。

 

 

さらにX軸方向に Tx 、Y軸方向に Ty だけ平行移動すると

 

 

 

となり、円のグラフを拡大縮小、平行移動することで楕円の一般式となります。

 

応用例

2点を通る直線の式を、グラフの平行移動の考え方を用いて求めます。

 

2点を通る直線の式は

 

 

より、よくある直線の式の解き方は、XとYに2点の座標を代入して、2つの式を作成し、連立方程式を用いて、未知数の  と  を求めると思います。

 

しかし、直線の傾き  はグラフを見て分かる通り、(Yの増分)/(Xの増分)であるから

 

 

となり、あとは切片の  を求めるだけになります。

 

ここで、少し見方を変えて、原点を通る傾き  のグラフを下図のように

原点(0,0)から点(X1、Y1)へ平行移動します。

 

 

これを式であらわすと

 

 

となり、直線の式を求めることができます。
この式をそのまま覚えている方もいると思いますが、グラフの拡大縮小、平行移動の
考え方は汎用的に使うことができ、応用範囲がとても広がります。

 

他にも

Y = sinθ

 

という波形に関して、

 

Y軸方向の拡大率は振幅
θ軸方向の拡大率は周期
θ軸方向の平行移動は位相のズレ

 

というように、置き換えて考えることもできます。

 

このように考えるようになると、高校時代に一生懸命覚えたけど、すぐに忘れてしまうこのへんの公式↓

 

sin ( – θ ) = – sin θ cos ( – θ ) = cos θ
sin ( 90°+ θ ) = cos θ sin ( 90°- θ ) = cos θ
cos( 90°+ θ ) = – sin θ cos ( 90°- θ ) = sin θ
sin ( 180°+ θ ) = – sin θ sin ( 180°- θ ) = sin θ
cos ( 180°+ θ ) = – cos θ cos ( 180°- θ ) = – cos θ

 

は全て拡大縮小、平行移動として考えることが出来ます。

 

例えば sin ( 90°- θ ) は sin ( -(θ – 90°) ) と書きかえると

sin波形をθ方向に-1倍(Y軸に対して対称移動)してから、+θ方向に90°平行移動すれば良い事が分かります。

 

最初に手元にsin波形を描いておけば、変換後、どのような波形になるのか?は見ればわかりますよね?!

 

 

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