【Excel】フーリエ変換

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  • エクセルでフーリエ変換をするには、Webで検索するとほとんどの場合、分析ツールのフーリエ解析で行う方法が紹介されているかと思います。

    この方法は以下のページを参照ください。

    【Excel】フーリエ解析(FFT)

    しかしながら、分析ツールで行うフーリエ解析では、解析対象のデータを変更しても、自動で結果を再計算しれくれない上に、Excelのフーリエ解析はFFTであるため、データ個数が2のn乗個(2,4,8,16,32,64,128・・・)という制限があります。

    そのため、エクセルのセルの関数のみを使い、フーリエ変換(離散フーリエ変換[DFT])を行う方法を紹介します。

    ただし、結論からすると処理が重いため、データ個数が多い場合はExcelのフーリエ解析(FFT)を使った方が良さそうです。

    ここでは、フーリエ変換のお勉強用に使って頂ければ幸いです。

    エクセルでフーリエ変換を行ったファイルはこちら↓

    discrete_fourier_transform.zip

    エクセルのイメージはこちら↓

    エクセルでフーリエ変換

    データf(x)と書かれた下の黄色いセルの部分にデータを入力すると、フーリエ変換され、パワースペクトルと位相が計算されます。

    エクセルの分析ツールで行うフーリエ解析では以下の式を用いていますが、

    エクセルでフーリエ変換

    ここでは、フーリエ変換の結果の値に意味合いを持つ下記の式を用いています。

    エクセルでフーリエ変換

    離散フーリエ変換についてはこちらのページでも紹介していますが、エクセルでフーリエ変換を行うために必要な情報をまとめておきます。

    まず、フーリエ変換を行うと、各周波数ごとに複素数の成分として変換されます。

    複素数zは実数成分をa、虚数成分をb、実数Aとすると

          z = a + bi = Ae

    のように表示され、図示すると下図のようになります。

    エクセルでフーリエ変換

      a = A x Cos θ

      b = A x Sin θ

    複素数の絶対値は

    エクセルでフーリエ変換

    位相(複素数では偏角といいますが)は

    エクセルでフーリエ変換

    となります。

    このへんの感覚は、ベクトルの成分が(a, b)、ベクトルの長さがA、傾きがθの場合と同じなので、覚えやすいかと思います。

     エクセルで用いる複素数の関数

    エクセルで複素数の計算に用いる関数は関数名の先頭にIMが付く関数を用いますが、今回用いた関数を紹介します。

    ■複素数 COMPLEX関数

    実部をa、虚部をbとする複素数は  COMPLEX(a, b)

    ■複素数の絶対値 IMABS関数

    複素数(a + bi)の絶対値 IMABS(“a + bi”)

    結果は√(a2 + b2) となります。

    ■複素数の実部の取得 IMREAL関数

    複素数(a + bi)の実部は  IMREAL(“a + bi”) = a

    ■複素数の虚部の取得 IMAGINARY関数

    複素数(a + bi)の虚部は  IMAGINARY(“a + bi”) = b

    ■複素数の偏角の取得 IMARGUMENT関数

    複素数(a + bi)の偏角は  IMARGUMENT(“a + bi”)  で-π~πの範囲でラジアン単位で取得

    ■複素数のべき乗 IMEXP関数

    zが複素数のべき乗は IMEXP(z)

    (例)ei π/3 を計算するには

    IMEXP(COMPLEX(0, PI() / 3))

    = 0.866 + 0.5i

    となります。

    ■複素数の足し算(合計を含む) IMSUM関数

    複素数xと複素数yの足し算(片方が実数の場合も含む)は IMSUM(x, y)

    (例)

    セルA1の複素数とセルA2の足し算は IMSUM(A1, A2)

    実数の合計の関数(SUM関数)と同様にセルA1~A10を合計するには IMSUM(A1:A10)となります。

    ■複素数の掛け算 IMPRODUCT関数

    複素数xと複素数yの掛け算(片方が実数の場合も含む)は IMPRODUCT(x, y)

    ■複素数の割り算 IMDIV関数

    複素数xと複素数yの掛け算(片方が実数の場合も含む)は IMDIV(x, y)

    フーリエ変換の意味合いを読み解く

    今回、フーリエ変換の式に

    エクセルでフーリエ変換

    の式を用いたのには、フーリエ変換後の値に意味合いを持つため、あえてこの式を用いました。

    今回、用いたデータはこちらのページ(http://www.data.jma.go.jp/gmd/risk/obsdl/)より2015年と2016年の東京の2年分(731日分)のデータを用いました。

    エクセルでフーリエ変換

    2年分の気温データのため、731個のデータの周波数は2になることを期待しています。

    エクセルでフーリエ変換

    そこで、あらためてエクセルのシートを眺めてみると、パワースペクトルは周波数tが0の時の次に最大になるのはt=2の時で周波数2の成分が大きい事がわかります。

    このことは、731 / 2 = 365.5日 が1周期分のデータ個数となります。

    t=0 の時のパワースペクトルの値(16.4625171)は全体の値の平均値を示しています。

    t=2 の時のパワースペクトルの値(5.12963)の2倍の値(10.25926)が周波数が2の時の振幅を示しています。

    ※実際にはt=2と複素共役と呼ばれる虚数成分がt=2のときの負になるt=729の時の2つの波形を足し合わせることで、虚数成分が打ち消しあい、実数部分の振幅が2倍となります。

    つまり、今回の2年間の気温データは 平均16.4625171 ± 10.25926 ℃ の傾向で気温変化した事がわかります。

    t=2 の時の位相(155.3578°)の負の値(-155.3578°)の位置にピークの位置が来ることを意味しています。

    ここまでわかると、2年間の気温データの変化の主な成分はCOS波形で表現する事ができ

    16.4625171 + 10.25926 × Cos(x / 365.5 × 360° – (-155.3578°))

    となります。

    この式を気温データに重ね合わせると↓

    エクセルでフーリエ変換

    見事、気温変化の傾向がつかめました!!

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