複素数のイメージ

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  • 離散フーリエ変換を勉強すると、突然

    e = cosθ + i sinθ

    みたいな式が突然出てきて、これが何だかよく分からないまま、とりあえず公式だけを覚えてみたり...

    しかも i  は「実際には存在しない虚数」みたいに教わったので、存在しない物は、なかなかイメージもしにくい。

    で、いろいろ調べてみて、今ではなんとなく

    e は複素平面における 長さ1傾きθ のベクトル

    ぐらいの認識でいます。

    複素数のイメージ

    複素平面ではX軸に相当する部分が実部(Real part)、Y軸に相当する部分が虚部(Imaginary part)と呼ばれます。

    回転方向は反時計まわりが正で時計まわりが負となります。

    よく e-iθ というのも目にしますが、これはむしろ ei(-θ) と 書いてくれた方が分かりやすいと思いますが、e-iθ は、回転方向がマイナス、つまり時計まわりになります。

    また、e の頭に係数が付く場合がありますが、その係数分だけベクトルの長さが変化します。

    例えば 2e の場合だと

    複素数のイメージ

    のようにベクトルの長さが2となります。

    係数の値が負の場合は、ベクトルの向きが逆になり、-2e の場合だと

    複素数のイメージ

    のようになります。

    ただ、実際には e の頭に係数はθの値に応じて変化する場合が多く、例えば

    (sinθ) e

    のθの値を0~360°で変化させるとどうなるか?というと、このよう↓になります。

    複素数のイメージ

    実はフーリエ変換をイメージで覚えるうえで、上図のように思えた事が最大のポイントで、とても嬉しかった~!!!

    上図をよ~く見てみると、ベクトルの先端は円を描き、この円の中心が(0, 0.5)の座標になっています。

    これを少し言い方を変えると、円の中心へのベクトルは長さ0.5、傾きが+90の位置にあります。

    この事は、すでに少しだけフーリエ変換になってます。

    と、ここまで説明しといて、例題としては  (sinθ) e -iθ  の方が良かったかな...ちょっと失敗??

    ちなみに(sinθ) e -iθ  だと、円の中心は(0, -0.5)の位置に来ます。

    複素数、複素関数について、もう少し詳しく知りたい方は、下記ファイルが参考になると思います。

    複素関数を学ぶ人のために

    http://collie.low-temp.sci.yamaguchi-u.ac.jp/~ashida/work/comp.pdf

    フーリエ変換へ戻る

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