複素数のイメージ

離散フーリエ変換を勉強すると、突然

 

e = cosθ + i sinθ

 

みたいな式が突然出てきて、これが何だかよく分からないまま、とりあえず公式だけを覚えてみたり...

しかも i  は「実際には存在しない虚数」みたいに教わったので、存在しない物は、なかなかイメージもしにくい。

 

で、いろいろ調べてみて、今ではなんとなく

 

e は複素平面における 長さ1傾きθ のベクトル

 

ぐらいの認識でいます。

 

複素数のイメージ

 

複素平面ではX軸に相当する部分が実部(Real part)、Y軸に相当する部分が虚部(Imaginary part)と呼ばれます。

 

回転方向は反時計まわりが正で時計まわりが負となります。

 

よく e-iθ というのも目にしますが、これはむしろ ei(-θ) と 書いてくれた方が分かりやすいと思いますが、e-iθ は、回転方向がマイナス、つまり時計まわりになります。

 

また、e の頭に係数が付く場合がありますが、その係数分だけベクトルの長さが変化します。

例えば 2e の場合だと

 

複素数のイメージ

のようにベクトルの長さが2となります。

係数の値が負の場合は、ベクトルの向きが逆になり、-2e の場合だと

複素数のイメージ

 

のようになります。

ただ、実際には e の頭に係数はθの値に応じて変化する場合が多く、例えば

 

(sinθ) e

 

のθの値を0~360°で変化させるとどうなるか?というと、このよう↓になります。

 

複素数のイメージ

 

実はフーリエ変換をイメージで覚えるうえで、上図のように思えた事が最大のポイントで、とても嬉しかった~!!!

 

上図をよ~く見てみると、ベクトルの先端は円を描き、この円の中心が(0, 0.5)の座標になっています。

これを少し言い方を変えると、円の中心へのベクトルは長さ0.5、傾きが+90の位置にあります。

この事は、すでに少しだけフーリエ変換になってます。

 

と、ここまで説明しといて、例題としては  (sinθ) e -iθ  の方が良かったかな...ちょっと失敗??

ちなみに(sinθ) e -iθ  だと、円の中心は(0, -0.5)の位置に来ます。

 

複素数、複素関数について、もう少し詳しく知りたい方は、下記ファイルが参考になると思います。

 

複素関数を学ぶ人のために

http://collie.low-temp.sci.yamaguchi-u.ac.jp/~ashida/work/comp.pdf

 

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