離散フーリエ変換を勉強すると、突然

e^iθ = cosθ + i sinθ

みたいな式が突然出てきて、これが何だかよく分からないまま、とりあえず公式だけを覚えてみたり．．．

しかも　i 　は「実際には存在しない虚数」みたいに教わったので、存在しない物は、なかなかイメージもしにくい。

で、いろいろ調べてみて、今ではなんとなく

e^iθ　は複素平面における　長さ１、傾きθ　のベクトル

ぐらいの認識でいます。

複素平面ではX軸に相当する部分が実部（Real part）、Y軸に相当する部分が虚部（Imaginary part）と呼ばれます。

回転方向は反時計まわりが正で時計まわりが負となります。

よく　e^-iθ　というのも目にしますが、これはむしろ　e^i(-θ)　と　書いてくれた方が分かりやすいと思いますが、e^-iθは、回転方向がマイナス、つまり時計まわりになります。

また、e^iθ　の頭に係数が付く場合がありますが、その係数分だけベクトルの長さが変化します。

例えば　2e^iθ の場合だと

のようにベクトルの長さが２となります。

係数の値が負の場合は、ベクトルの向きが逆になり、-2e^iθ の場合だと

のようになります。

ただ、実際には　e^iθ　の頭に係数はθの値に応じて変化する場合が多く、例えば

(sinθ) e ^iθ

のθの値を0～360°で変化させるとどうなるか？というと、このよう↓になります。

実はフーリエ変換をイメージで覚えるうえで、上図のように思えた事が最大のポイントで、とても嬉しかった～！！！

上図をよ～く見てみると、ベクトルの先端は円を描き、この円の中心が（0, 0.5）の座標になっています。

これを少し言い方を変えると、円の中心へのベクトルは長さ０．５、傾きが＋９０の位置にあります。

この事は、すでに少しだけフーリエ変換になってます。

と、ここまで説明しといて、例題としては　 (sinθ) e ^-iθ  の方が良かったかな．．．ちょっと失敗？？

ちなみに(sinθ) e ^-iθ  だと、円の中心は（0, -0.5）の位置に来ます。

複素数、複素関数について、もう少し詳しく知りたい方は、下記ファイルが参考になると思います。

複素関数を学ぶ人のために

http://collie.low-temp.sci.yamaguchi-u.ac.jp/~ashida/work/comp.pdf

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フーリエ変換は何をしているのか？？？

下図の示すように、任意波形を各周波数の成分に分解し、その大きさ（振幅）および位置（位相）を求める計算がフーリエ変換となります。

逆に、振幅と位相から元の波形を求める計算が逆フーリエ変換となります。

このフーリエ変換を行うと何が良いのか？？？

用途は様々なのですが、

• 振幅から、どの周波数成分が強いのか？解析を行う。
• 位相から、位相のズレで距離（形状）を算出する。
• 特定周波数の振幅を０（ゼロ）にして、逆フーリエ変換を行い、フィルタ処理（ノイズ除去など）を行う。
• 振幅および位相から元のデータを算出する事で、元のデータを少ない値から算出する。
  （データ圧縮）

などなど。

ここで、私がなかなかフーリエ変換を理解できなかったポイントですが、

「任意波形はサイン波形を足し合わせると求める事ができる！」

みたいな説明が良くあります。さらに位相についても触れられていない場合が多いです。

しかし、この説明だとsin(0°)は、いつも０（ゼロ）なので、いくら各周波数成分を足し合わせても０°の値は０になってしまいます。

そのため、sin波形で考えるのではなく、cos波形で考えた方が良いと思います。

この時、各周波数の成分は下記の式で表されます。

ただし、

Ｎ：データ個数

t = ０、１、２、・・・・Ｎ－１

n = ０、１、２、・・・・Ｎ－１

Ａt：tの時の振幅

φt：tの時の位相

t：データ全体に含まれる１周期分の波の個数。この値で周波数を調整します。

また、一度は聞いた事があるであろうパワースペクトルの値は振幅そのものを求めていない場合が多い。

（この事にはついては、別の記事で説明したいと思います。）

画像処理をやった事がある人では、フーリエ変換は、各周波数をテンプレートとしたテンプレートマッチングを行い、相関値がフーリエ変換のパワースペクトルに相当していると思えば、感覚的には似ています。

（ただし、数学的には異なります。）

と、ざっくりなイメージはこんな感じです。

もう少し、まじめにフーリエ変換を理解したい場合は内積や正規直交規定を理解しておくと、良いかと思います。

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