平滑化フィルタでは注目画素の周辺画素の輝度値を平均し、ノイズを除去していましたが、画像の輪郭もボケてしまう欠点がありました。それに対し、メディアンフィルタでは周辺輝度値の大きさを順に並べ、メディアン（中央値）を注目画素に置き換えることでノイズを除去します。
特に周辺画素の輝度値よりも大きく異なるノイズ（ゴマ塩ノイズとかスパイクノイズという）を除去するのに効果を発揮します。
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| メディアンフィルタ処理前 | → | メディアンフィルタ処理後 |
 輝度値の３D表示 |
 輝度値の３D表示 |
注目画素（画像中央の輝度値１６５の部分）周辺の輝度値を取得します。
６１、９６、４１、５７、１６５、３４、２４、３０、３１
この輝度値を順番に並べます。
２４、３０、３１、３４、４１、５７、６１、９６、１６５
並べた輝度値のメディアン（中央値）の４１で輝度値１６５を置き換えます。
この処理を全画素について行うと、ノイズを除去することができます。
ただし、平滑化処理に比べ、処理が重い．．．
もう少し具体例でいうとこんな感じ
【メディアン処理前】
【メディアン処理後】
移動平均フィルタでは注目画素周辺の輝度値を単に平均していましが、一般的な画像では 注目画素に近い画素の輝度値は注目画素の輝度値と近い場合が多いですが、注目画素から遠くなればなるほど、注目画素の輝度値とは差が大きくなる場合が多くなります。
この事を考慮し、注目画素に近いほど、平均値を計算するときの重みを大きくし、遠くなるほど重みを小さくなるようにガウス分布の関数
を用いてレートを計算しているのがガウシアンフィルタです。
σの値が小さいほど平滑化の効果は小さくなり、大きいほど効果が大きくなりますが、
よく以下のカーネルが用いられます。
３×３の場合
５×５の場合
ガウシアンフィルタにはローパスフィルタと同様の効果があるそうです。
ということで、フィルタ処理した画像をフーリエ変換し、確かめてみました。
オリジナル（処理前）の画像はこちら↓
| オリジナル画像 | 二次元フーリエ変換画像 |
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上記の画像にノイズ除去系のガウシアンフィルタ、移動平均フィルタ、メディアンフィルタの
処理を行い、二次元フーリエ変換を行い確認してみました。
上記画像に５×５のガウシアンフィルタ処理を行うと
| ５×５のガウシアンフィルタ処理 | 二次元フーリエ変換画像 |
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５×５の移動平均処理を行うと
| ５×５の移動平均処理 | 二次元フーリエ変換画像 |
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５×５のメディアンフィルタ処理を行うと
| ５×５のメディアンフィルタ処理 | 二次元フーリエ変換画像 |
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確かに処理結果を見てみると、ガウシアンフィルタが最も高周波成分を除去できているように
思います。
なぜ、そうなるのか？
本には数式においても、この効果が証明できるような事が書いてありましたが、ちょっと難しいので、
カーネルの値について見てみたいと思います。
そもそも、ある特定の周期の成分を消すためには、どうすれば良いか？というと、
周期の半分の離れた２点のデータを平均していけば、その周波数の成分を消す事が出来ます。
ここで、画像で表すことのできる最も高い周波数は
明 暗 明 暗 明 暗 明 暗 明 暗 明 暗 明 暗 明 暗 明 暗
となる２画素周期のパターンで、このパターンを消すためには、隣り合う２画素の輝度値を
平均すると、画像データから最も高周波の成分を除去する事が出来ます。
しかし、隣り合う２画素の平均の結果は、画素間の位置の輝度値を示してしまうので、
この平均のさらに平均値を取ります。
連続する５つの輝度値の値をI-2～I2とすると、平均した値の平均値は
となり、なんとこの結果が３×３のガウシアンフィルタの横方向（縦方向）の係数と等しくなります。
さらに、平均の平均を取ると、５×５のガウシアンフィルタの係数と同じ。
７×７のガウシアンフィルタまで確認してみましたが、この平均の平均で表すことが出来るようです。
という訳で、ガウシアンフィルタの式
で表される係数なら何でも良いと思いつつも、
の係数が良く使われるのかも？しれませんね。
さらにこの係数、半分の半分で求めるのは、ちょっと面倒。
これがまた都合よく、（a+b）nの式を展開したときの係数に使われる
パスカルの三角形の値
と一次元のガウシアンフィルタの係数と等しくなります。（少なくとも７×７ぐらいまでは）
これを以下のように二次元的に掛け合わせて、係数の合計で割ればガウシアンフィルタの係数となります。
例えば７×７のガウシアンフィルタの係数では下図のようになります。
この値を係数の合計（=4096）で割ればガウシアンフィルタの係数の出来上がり！！！
（このときσの値は約１．３となります。）
平滑化フィルタは読んで字のごとく、画像の輝度値を平らに滑らかにするための手法です。
画像中のノイズを除去するために用いられます。
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| 平滑化処理前 | 平滑化処理後 |
移動平均フィルタ（別名：平均化フィルタ、単に平滑化フィルタともいう）では、注目画素のその周辺の輝度値を用いて、
輝度値を平均し、処理後画像の輝度値とする手法です。
例えば、注目画素とその周辺の輝度値に以下のようなレートを掛け合わせて輝度値を求めます。
この３×３のレートの組合せの事をカーネル、オペレータ、マスクなどと言います。
とくに３×３である必要はなく、５×５の場合では
となります。
ただし、全てのレートを足し合わせて１になるように調整して下さい。
判別分析法【discriminant analysis method】は大津の二値化とも言われ、分離度（separation metrics）
という値が最大となるしきい値を求め、自動的に二値化を行う手法です。
分離度はクラス間分散（between-class variance）とクラス内分散（within-class variance）
との比で求める事ができ、以下の様に求めます。
しきい値 ｔ で二値化したとき、しきい値よりも輝度値が小さい側（黒クラス）の画素数をω1、
平均をm1、分散をσ1、輝度値が大きい側（白クラス）の画素数を画素数をω2、平均をm2、
分散をσ2、画像全体の画素数をωt、平均をmt、分散をσtとしたときクラス内分散σw2は
クラス間分散σb2は
としてあらわす事ができる。
ここで、全分散（total variance）σtは
としてあらわす事ができることから、求めるクラス間分散とクラス内分散との比である分離度は
となり、この分離度が最大となるしきい値 t を求めればよい。
ここで、全分散σtはしきい値に関係なく一定なので、クラス間分散σb2が最大となるしきい値を
求めればよい事が分かる。
さらにクラス間分散の式の分母もしきい値に関係なく一定なので、クラス間分散の分子
ω1 ω2 (m1 – m2)2
が最大となるしきい値 t を求めればよい。
結局、分散とか関係なく、黒、白それぞれの領域のヒストグラムから、画素数ωと輝度値の
平均値ｍから上記の値が最大となるしきい値 ｔ をしらみつぶしに求めればいいので、以外と簡単．．．
【処理例】
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上記例のように、判別分析法はおおむね良好な結果を得る事ができます。
Ｐタイル法【Percentile Method】は、画像の二値化したい領域が全画像の領域に占める割合をパーセント（％）で指定し二値化する手法です。
【処理例】
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| Pタイル法処理前 |
Pタイル法処理後 （二値化する割合を２３％で指定） |
【処理アルゴリズム】
まず最初に画像のヒストグラムを取得します。 
このヒストグラムを見ると、輝度値でおおよそ１６０前後で二値化すると、目的の画像が得られそうな 事が分かります。
次にヒストグラムの輝度値が高い方から頻度を足していき、その頻度の合計が指定した割合を超える 輝度値をしきい値とし、二値化処理を行います。
実際の処理では、例えば画像サイズが６４０×４８０画素だとすると、全画素数は３０７，２００画素なので、 二値化する割合が２３％のときは２３％に相当する画素数は
３０７，２００ × ０．２３ ＝ ７０，６５６画素
なので、ヒストグラムの頻度を輝度値の高い方から（黒側の面積を指定する場合は低い方から）足していった時に７０，６５６画素を初めて超える輝度値を二値化のしきい値とします。 Ｐタイル法では、二値化する領域の大きさが一定の場合、画像の明るさが変動しても、二値化された 画像は変わらない事がメリットです。
一般にカメラから得られる画像の輝度値はカメラ本体の温度変化により変動し、ＬＥＤなどの照明も 長時間使用していると暗くなる傾向があるので、固定しきい値による二値化処理よりも安定的に 二値化処理を行うことが可能となります。 もっとも、二値化する領域の大きさの変動が大きい場合は不向きです。
二値化【Binarization】では画像の輝度値が指定した値（しきい値【Threshold】）以上の場合は白、値未満の場合は黒にする処理を行います。
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| 二値化処理前 | 二値化処理後 |
二値化処理では上図のように、しきい値付近に輝度値の変動がある場合、二値化処理を行うと点々とした画素が残ってしまうため、この場合は二値化処理を行う前に平滑化フィルタやメディアンフィルタなどのノイズ除去を行ってから二値化処理を行う場合が多くあります。 また、二値化処理を行うと画像の輝度値は白と黒しかないため、白の輝度値を１、黒の輝度値を０とし、１画素を１ビットであらわす事ができ、画像データサイズを小さくすることができるのですが、１画素を１ビットであらわすと各画素の輝度値の参照がかえって面倒になってしまうので、画像処理のプログラムでは白の輝度値を２５５、黒の輝度値を０として、１画素８ビット（１バイト）で扱う場合の方が一般的です。 （フォトレタッチ系のソフトでは１画素１ビットで扱う場合の方が多いと思います。）
【二値化処理の応用例】
など
【二値化プログラム例】
●効率の悪いプログラム例
for (j = 0; j < Height ; j++){
for ( i = 0; i < Width; i++){
//入力画像の輝度値の取得
Bright = pSrc[i + j * Width];
//二値化処理
if (Bright >= Threshold)
pDst[i + j * Width] = 255;
else
pDst[i + j * Width] =0;
}
}このプログラムでは画像の全画素をｉｆ文で処理しているので、非常に非効率です。 この部分はルックアップテーブルを用いて最適化します。 また、この例では二重ループを用いて画像の輝度値を二次元的に参照していますが、二値化処理では近傍画素を用いて処理を行わないので、画像データをただの一次元的な配列として捉えても構いません。 ということで、最適化したのが以下の例です。
●効率の良いプログラム例
unsigned char LUT[256] = {0};
//二値化ルックアップテーブルの作成
for ( i = Threshold; i < 256; i++)
LUT[i] = 255;
//二値化処理
for ( i = 0; i < Width * Height; i++)
pDst[i] = LUT[ pSrc[i] ];
各種、画像処理を下記に示します。
処理の名前の部分にリンクが張ってあるものは、より詳細な説明がありますので、そちらを参照願います。
| 処理前 | 処理後 |
| 二値化、Pタイル法、判別分析法（大津の二値化） | |
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| 移動平均フィルタ（カーネルサイズ７×７） | |
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| ガウシアンフィルタ（カーネルサイズ７×７） | |
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| メディアンフィルタ（カーネルサイズ７×７） | |
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| ソーベルフィルタ | |
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| Canny edge detection | |
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| 細線化 | |
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| ガンマ補正 | |
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| アンシャープマスキング | |
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| バイラテラルフィルタ | |
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| 膨張 | |
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| 収縮 | |
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| オープニング | |
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| クロージング | |
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| トップハット | |
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| ブラックハット（ボトムハット） | |
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| ラベリング | |
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| 色変換（色相抽出） | |
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| 疑似カラー | |
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