拡大、縮小
ＸとＹであらわせる関数
をＸ軸方向に Ｓｘ 、Ｙ軸方向に Ｓｙ 倍の拡大縮小すると
となります。
（拡大の場合、Ｓｘ，Ｓｙは１以上、縮小の場合、Ｓｘ，Ｓｙは１以下となります。）
回転移動
関数 ｆ（Ｘ，Ｙ）を原点周りにθ度回転すると
となります。
平行移動
関数 ｆ（Ｘ，Ｙ）をＸ軸方向に Ｔｘ 、Ｙ軸方向に Ｔｙ だけ平行移動すると
となります。
拡大縮小してから平行移動した場合は
となります。
考え方
グラフ（関数）を拡大、縮小、回転、平行移動するときに、実際にX、Yの値の変換は全て逆！つまり
| 拡大の場合 | 縮小 |
| θ度回転の場合 | －θ度回転 |
| ＋方向へ移動の場合 | －方向へ移動 |
の処理をしています。
何だかとっても違和感がありますが、グラフ（関数）を移動していると思うのではなく、グラフ（関数）はそのままに、XY軸を変換していると思うと、少しはしっくり来るでしょうか．．．
また、拡大縮小、回転、平行移動を同時に行う場合は、変換の順番に注意が必要です。
行列の計算と同じように、計算の順番が異なると計算結果も異なります。基本的には
拡大縮小 ⇒ 回転 ⇒ 平行移動
の順番で変換を行うのが、一番よいでしょう。
もちろん、分かっていて別の順番で変換するのは構いません。
具体例
半径１の円の式、グラフは
となり、このグラフをＸ軸方向に Ｓｘ 、Ｙ軸方向に Ｓｙ 倍の拡大縮小すると
となります。
式を変形すると楕円の公式そのものとなります。
さらにＸ軸方向に Ｔｘ 、Ｙ軸方向に Ｔｙ だけ平行移動すると
となり、円のグラフを拡大縮小、平行移動することで楕円の一般式となります。
応用例
２点を通る直線の式を、グラフの平行移動の考え方を用いて求めます。
２点を通る直線の式は
より、よくある直線の式の解き方は、ＸとＹに２点の座標を代入して、２つの式を作成し、連立方程式を用いて、未知数の ａ と ｂ を求めると思います。
しかし、直線の傾き ａ はグラフを見て分かる通り、（Ｙの増分）/（Ｘの増分）であるから
となり、あとは切片の ｂ を求めるだけになります。
ここで、少し見方を変えて、原点を通る傾き ａ のグラフを下図のように
原点（０，０）から点（Ｘ１、Ｙ１）へ平行移動します。
これを式であらわすと
となり、直線の式を求めることができます。
この式をそのまま覚えている方もいると思いますが、グラフの拡大縮小、平行移動の
考え方は汎用的に使うことができ、応用範囲がとても広がります。
他にも
Y = sinθ
という波形に関して、
Ｙ軸方向の拡大率は振幅
θ軸方向の拡大率は周期
θ軸方向の平行移動は位相のズレ
というように、置き換えて考えることもできます。
このように考えるようになると、高校時代に一生懸命覚えたけど、すぐに忘れてしまうこのへんの公式↓
| sin ( – θ ) = – sin θ | cos ( – θ ) = cos θ |
| sin ( 90°+ θ ) = cos θ | sin ( 90°- θ ) = cos θ |
| cos( 90°+ θ ) = – sin θ | cos ( 90°- θ ) = sin θ |
| sin ( 180°+ θ ) = – sin θ | sin ( 180°- θ ) = sin θ |
| cos ( 180°+ θ ) = – cos θ | cos ( 180°- θ ) = – cos θ |
は全て拡大縮小、平行移動として考えることが出来ます。
例えば sin ( 90°- θ ) は sin ( -（θ – 90°) ) と書きかえると
ｓｉｎ波形をθ方向に－１倍（Ｙ軸に対して対称移動）してから、＋θ方向に９０°平行移動すれば良い事が分かります。
最初に手元にsin波形を描いておけば、変換後、どのような波形になるのか？は見ればわかりますよね？！