二次元座標(X,Y座標)の場合のアフィン変換行列についてはこちらで説明しましたが、今回は三次元座標(X,Y,Z座標)のアフィン変換となります。

三次元座標の場合、まず座標軸の定義、回転方向の定義を明確に覚えます。

この座標は右手座標系と呼ばれます。
フレミングの法則のときのように右手で親指、人差し指、中指をそれぞれ
直交するようにします。
このとき親指から順に親指がＸ軸、人差し指がＹ軸、中指がＺ軸の方向と
なります。
回転方向は電流と磁界の向きと同じように電流が軸の向き、磁界が回転方向
に相当します。（右ねじの法則と同じです。）

回転行列

三次元の回転行列の前に二次元の回転行列のおさらいです。
二次元の回転行列は以下の通りとなります。

これをベースに三次元座標の場合では、回転する軸の正の方向から原点の方向を見たときに、Ｘ軸、Ｙ軸はそれぞれ何軸に相当するのか？を考えれば、二次元座標のＸやＹの変数の置き換えで導き出すことができます。
行列変換しない軸に関しては単位行列でそのまま残します。

【Ｘ軸周りの回転】

【Ｙ軸周りの回転】

【Ｚ軸周りの回転】

拡大縮小行列

点（x, y, z）を原点に関してＸ軸方向にＳ_Ｘ倍、Ｙ軸方向にＳ_Ｙ倍、Ｚ軸方向にＳ_Z倍する行列は

平行移動行列

点（x, y, z）をＸ軸方向にＴ_Ｘ、Ｙ軸方向にＴ_Ｙ、Ｚ軸方向にＴ_Zだけ移動する行列は

補足

三次元の座標変換に関して検索すると座標変換は下記のように

行ベクトルで表記される場合もあるのですが、変換行列の値が変わるので、
混同しないようご注意下さい。
この表現はマイクロソフトがお得意で、ＤｉｒｅｃｔＸ（Ｄｉｒｅｃｔ３Ｄ）や.NETのアフィン変換でしか使われないので、特に必要の無い場合は覚えない方が無難です。

関連記事

二次元座標のアフィン変換についてはこちら↓にまとめています。

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本記事は、私がアフィン変換を勉強し始めた当初の記事になります。
今では、3×3行列の同次座標行列と呼ばれる行列しか用いておらず、こちらの方が断然おススメなので、下記ページを参照ください。

以下は、2×2行列を使ったアフィン変換の説明です。

回転行列

点（x, y）を原点まわりに反時計方向にθ度回転する行列は

拡大縮小行列

点（x, y）を原点に関してＸ軸方向にＳ_Ｘ倍、Ｙ軸方向にＳ_Ｙ倍する行列は

平行移動行列

点（x, y）をＸ軸方向にＴ_Ｘ、Ｙ軸方向にＴ_Ｙだけ移動する行列は

ただし、平行移動だけ行列の足し算になると、扱いにくい場合があるので３×３行列を用いて以下のように表す場合もあります。
というより、こちらを使う方が便利です。（私はこちらしか使いません。）

【回転行列】

【拡大縮小行列】

【平行移動行列】

とすることで、すべての座標変換を行列の積で扱うことができます。

この行列を同次座標行列と言います。
詳細はこちらを参照ください。

参考まで．．．

個人的には回転行列を覚えるのは苦手で、ＳｉｎとＣｏｓが逆になっりマイナスのつける位置を間違ったりしていたのですが、次のように考えることで少しは覚えやすくなりました。

下図のように

点（１，０）をθ度回転すると（Ｃｏｓθ、Ｓｉｎθ）
点（０，１）をθ度回転すると（－Ｓｉｎθ、Ｃｏｓθ）

に移動することはすぐにわかります。

このことを行列で表現すると
点（１，０）が（Ｃｏｓθ、Ｓｉｎθ）になることから

点（０，１）が（－Ｓｉｎθ、Ｃｏｓθ）になることから

という事がわかります。
これを合わせて表現すると

となり、回転行列が求まります。
この計算を何回か繰り返すと、そのうち覚えると思います。

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行列を使って連立方程式を解く方法を紹介します。

【計算例】

３つの方程式

を行列であらわすと

となります。この行列を逆行列を使ってＸ、Ｙ、Ｚに関して解くと

となり連立方程式を行列で解くことができます。

…というのは普通すぎて面白くないので、３点からなる円の方程式を行列で解く方法を紹介します。

中心（a、b）、半径　ｒ　の円の方程式

(X – a)² + (Y – b)² = r²

を展開して

X² + Y² – 2aX – 2bY + a² + b² – r² =  0

となり、A = 2a、B = 2b、C = r² – a² – b² とおくと、上式は

AX + BY + C  =   X² + Y²

となります。

ここで、円上の３点（X₀、Y₀）、（X₁、Y₁）、（X₂、Y₂）を代入すると

AX₀ + BY₀ + C  =  X₀² + Ｙ₀²
AX₁ + BY₁ + C  =  X₁² + Ｙ₁²
AX₂ + BY₂ + C  =  X₂² + Ｙ₂²

の３本の式が成り立ち、これを行列で表現すると、

となり、Ａ、Ｂ、Ｃに関して行列を解くと

となり、A、Ｂ、Ｃが求まることから、A = 2a、B = 2b、C = r² – a² – b² より
中心と半径を求めることができます。

行列を解く部分は

ガウスの消去法

のページを参照下さい。

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