回転行列、拡大縮小行列、平行移動行列

回転行列

点(x, y)を原点まわりに反時計方向にθ度回転する行列は

回転行列

拡大縮小行列

点(x, y)を原点に関してX軸方向に、Y軸方向にする行列は

拡大縮小行列

平行移動行列

点(x, y)をX軸方向に、Y軸方向にだけ移動する行列は

平行移動行列


ただし、平行移動だけ行列の足し算になると、扱いにくい場合があるので3×3行列を用いて以下のように表す場合もあります。

【回転行列】

回転行列

【拡大縮小行列】

拡大縮小行列

【平行移動行列】

平行移動行列

とすることで、すべての座標変換を行列の積で扱うことができます。

この行列を同時座標行列と言います。


参考まで...

個人的には回転行列を覚えるのは苦手で、SinとCosが逆になっりマイナスのつける位置を間違ったりしていたのですが、次のように考えることで少しは覚えやすくなりました。

下図のように

点(1,0)をθ度回転すると(Cosθ、Sinθ)
点(0,1)をθ度回転すると(-Sinθ、Cosθ)

に移動することはすぐにわかります。

回転行列

このことを行列で表現すると
点(1,0)が(Cosθ、Sinθ)になることから

回転行列

点(0,1)が(-Sinθ、Cosθ)になることから

回転行列

という事がわかります。
これを合わせて表現すると

回転行列

となり、回転行列が求まります。
この計算を何回か繰り返すと、そのうち覚えると思います。

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コメント

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