ロバスト推定法(Tukey’s biweight)

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ロバストとは?

ロバスト(Robust)という言葉を辞書で調べると、「頑健なさま、がっしりした様子」という意味が載っています。

画像処理的には、ノイズや影、明るさの変動などの影響を受けにくく、安定した処理結果が得られる、ぐらいの意味として捉えれば良いでしょう。

ロバスト推定法

通常の最小二乗法では下図のように、数点の大きな誤差が含まれるだけでも、近似した直線が大きくズレてしまう場合があります。
この誤差の影響をできるだけ受けないようにしたのが、ロバスト推定法です。

最小二乗法とロバスト推定法との比較

処理アルゴリズム

まずは最初に、通常の最小二乗法を行います。
(今回は簡単にするため一次式で近似する例で紹介します。)

直線の式(y=ax+b)で近似する場合は以下のように行列を用いて解くことができます。

通常の最小二乗法の式

この近似した直線から遠く離れたデータを除去するだけでも、大きな誤差のデータの影響を受けなくなりそうですが、ここでは、誤差の大きさに応じて重みを付けるTukeyのBiweight推定法という手法を紹介します。

近似データ(Xi、Yi)と近似直線との誤差 d=Yi – (aXi + b) を用いて、誤差が大きければ大きいほど、
最小二乗に与える影響力(重み)が小さくなるように、以下のような式を用いて重み計算します。

d < -Wの場合
ロバスト推定の重みの式

-W <= d <= Wの場合
ロバスト推定の重みの式

W < dの場合
ロバスト推定の重みの式

ただし、大文字のは誤差の許容範囲を示します。

この重みの関数w(d)をグラフで示すと、このようになります。

ロバスト推定の重みのグラフ

上図を見ても分かるように誤差の絶対値がWを超えると重みが0となり、次に行う重み付き最小二乗法では近似に影響を与えなくなり、逆に誤差が0に近づく程、重みが増し、近似への影響が大きくなります。

この重み wi を各近似データ(Xi、Yi)に関して計算し、wiを付加した最小二乗法を再度行います。

重み付き最小二乗法

こうして求めた近似式(y = a’X + b’)は最初に求めた近似式よりも、測定データに近づきます。
この処理を誤差の許容範囲()を小さくしながら、誤差が少なくなるまで繰り返すことで、より測定データに近づいた近似式を得ることができます。

今回の例では一次式について示していますが、他のn次式などについても、同様に行列の各要素に重みを付加することで、ロバスト推定を行うことができます。

参考文献

http://www.amazon.co.jp/%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BA%8C%E4%B9%97%E6%B3%95%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E5%AE%9F%E9%A8%93%E3%83%87%E3%83%BC%E3%82%BF%E8%A7%A3%E6%9E%90%E2%80%95%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0SALS-UP%E5%BF%9C%E7%94%A8%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%81%B8%E6%9B%B8-7-%E4%B8%AD%E5%B7%9D-%E5%BE%B9/dp/4130640674/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1310646816&sr=1-1

http://www.amazon.co.jp/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%AA%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%AC%E3%82%B7%E3%83%94%E3%83%BB%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%BC-%E6%97%A5%E6%9C%AC%E8%AA%9E%E7%89%88%E2%80%95C%E8%A8%80%E8%AA%9E%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E6%95%B0%E5%80%A4%E8%A8%88%E7%AE%97%E3%81%AE%E3%83%AC%E3%82%B7%E3%83%94-William-H-Press/dp/4874085601/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1310646898&sr=1-1

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