外積を用いて三角形の面積を求める方法を紹介します。

 

まず、外積のおさらいですが、三次元ベクトルにおいて２つのベクトルの外積の大きさが２つのベクトルからなる平行四辺形の大きさに一致する特徴がありました。

 

この２つのベクトルのＺ成分を０（ゼロ）にして二次元座標へ応用します。

２つのベクトルを

 

 

とすると、２つのベクトルの外積は、ｘ成分とｙ成分は０（ゼロ）となり、ｚ成分の大きさが平行四辺形の面積の大きさとなる事から、３点からなる三角形の面積は平行四辺形の半分の大きさとなり、

 

 

となります。

 

例題

３点、Ａ（1, 3）, B（3, 4）, Ａ（2, 6）からなる三角形の面積を求めよ。

 

解）

 

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下図のように点（x₀, y₀, z₀）を通り、法線ベクトルが

 

 

の平面の方程式は

 

　a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)=0

 

となり、一般に

 

　ax+by+cz+d=0

 

と表します。

 

 

 

なぜそうなるのか？というと、平面に垂直な法線ベクトルと、平面上の任意の２点からなるベクトルとは常に垂直である事から、法線ベクトルと、平面上の２点からなるベクトルとの内積の結果は常に０となります。

 

つまり、法線ベクトル（a, b, c）と平面上の２点のベクトル（x-x₀, y-y₀, z-z₀）の内積が０となるので、

 

　a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)=0

 

となり、これを展開したのが、平面の方程式

 

　ax+by+cz+d=0

 

となります。

 

平面は点が３つあれば求まるのですが、３点から平面の式を求めるには外積を用います。

 

外積では２つのベクトルの外積を求めると、２つのベクトルと外積の結果とは直交するという特徴があるので、下図のように

 

 

平面上の３点P₀, P₁, P₂から、P₀→P₁、P₀→P₂の２つのベクトルを作り、

 

　（x₁-x₀, y₁-y₀, z₁-z₀）

と

　（x₂-x₀, y₂-y₀, z₂-z₀）

 

の外積を計算すると、法線ベクトルの各成分（a, b, c）は

 

　a=(y₁-y₀)×(z₂-z₀)-(y₂-y₀)×(z₁-z₀)

　b=(z₁-z₀)×(x₂-x₀)-(z₂-z₀)×(x₁-x₀)

　c=(x₁-x₀)×(y₂-y₀)-(x₂-x₀)×(y₁-y₀)

 

となり、法線ベクトルの要素のa, b, cが求まるので、平面の方程式に３点P₀, P₁, P₂のどれかを代入すると平面の方程式が求まります。

 

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正規直交基底はあまり馴染が無いように思いますが、フーリエ変換や主成分分析の理解をするには必要となってきます。

 

【定義】

ベクトルの大きさが１となり、互いのベクトル（任意の２つのベクトル）が 直交するベクトルの組合せ

 

となります。

 

ここで、ベクトルの大きさ（ノルム）が１という事は、そのベクトルは単位ベクトルであり、
ベクトルが直交するということは、ベクトルの内積が０となる事を意味しています。

 

もっとも簡単な例として、二次元ベクトルの場合

 

 

上図のように、e₁, e₂を

 

 

としたとき、この e₁, e₂ は正規直交基底である事は分かると思います。

 

ここで大事なのが、任意ベクトルＶの e₁ 方向の大きさをａ, e₂ 方向の大きさをｂとすると、

 

各ベクトルの方向の大きさは内積で求まる！

 

という特徴があります。

 

上記の例では

 

e₁方向の大きさａは

 

ａ = Ｖ ・ e₁ = X  × 1 + Y × 0= X

 

e₂方向の大きさ ｂ は

 

ｂ = Ｖ ・ e₂ = X  × 0 + Y × 1= Y　

 

となります。この処理を斜影と言います。

 

逆に

 

任意ベクトルは正規直交基底と各大きさを用いて表す事ができる！

 

という特徴もあります。

 

任意ベクトルを求めるには正規直交基底の各ベクトルとその大きさをかけて、ベクトルを足し合わせると求まります。

 

上記の例では

 

　　任意ベクトルＶ 　= ａ  × e₁ + ｂ × e₂
　　　　　　　　　　 = ａ × (1, 0)+ ｂ × (0, 1)
　　　　　　　　　　 =  (ａ, ｂ)

となりますが、この例はあまりにも単純な例なので、もう少しだけ具体的にして、ベクトルを

 

Ｖ 　= （4, 6)

 

正規直交基底を

 

 

とします。

 

 

このとき e₁, e₂ が正規直交基底であるかどうか？は、それぞれのベクトルの大きさと、内積を計算すると確認する事が出来ます。

 

 

また、このとき、

 

e₁方向の大きさａは

ａ = Ｖ ・e1 =

 

e₂方向の大きさｂは

ｂ = Ｖ ・e2 =

 

となります。
逆にベクトルＶを正規直交基底の e₁,e₂ とそれぞれの向きの大きさを用いて計算すると

 

 

となり、確かに正規直交基底を用いると任意ベクトルを表すことができそうです。

 

このことをもう少し一般化して、正規直交基底 e₁,e₂ を

 

 

としても、任意ベクトルＶ　を表すことはできます。

 

 

これをさらに三次元の場合でも、任意ベクトルＶ　を表すことができます。

 

 

このノリでさらにｎ次元の場合でも同様に正規直交基底をe₁,e₂・・・,e_ｎとしても、任意ｎ次元ベクトルＶ　を表すことができます。

ということで、クドいですが、正規直交基底には

 

任意ベクトルを正規直交基底と各大きさを用いて表す事ができる！

 

という特徴があります。

 

それって、もうほとんどフーリエ変換の説明になっているのですが、お気づきでしょうか？
フーリエ変換についてはいづれ記事にしたいと思います。