n点からなる多角形の面積を求める

前回、３点からなる三角形の面積を外積を用いて求めました。

これを多角形へ応用したいと思います。

 

まず、外積のおさらいから。

 

Ｚ成分が０（ゼロ）の２つのベクトル

 

 

の外積は

 

 

となり、Ｚ成分の大きさが２つのベクトルのなす平行四辺形の面積となり、三角形の面積はこの半分（1/2）となります。

 

さらに、ベクトルａ　から　ベクトルｂ　への向きが反時計方向の場合、
ベクトルａ　と　ベクトルｂ　の外積のＺ成分の値は正となり、

 

 

逆に時計方向の場合、Ｚ成分は負となります。

 

 

これを踏まえて、３点からなる三角形の面積を求めるの時は三角形の辺上にベクトルを取りましたが、今回は原点と多角形の頂点の座標とで成すベクトルとします。

 

ここで、多角形の頂点の座標をＰ_１～Ｐ_３のように反時計方向に定義します。

ただし、Ｚ座標は０（ゼロ）とします。

 

 

ベクトルＰ_０→Ｐ_１　と　ベクトルＰ_０→Ｐ_２　の外積のＺ成分の値は時計方向なので、負となります。

 

 

同様に、ベクトルＰ_０→Ｐ_２　と　ベクトルＰ_０→Ｐ_３　の外積のＺ成分の値は反時計方向なので、正となります。

 

 

ベクトルＰ_０→Ｐ_３　と　ベクトルＰ_０→Ｐ_１　の外積のＺ成分の値も反時計方向なので、正となります。

 

 

これらの外積の結果のＺ成分を足して1/2にすると、求めたい三角形Ｐ_１Ｐ_２Ｐ_３の面積が求まります。

 

 

この事をｎ点からなる多角形へ応用すると、下図のような図形の場合、

 

 

点Ｐ_１～Ｐ_３までは時計方向となるので、外積のＺ成分は負となります。

 

 

点Ｐ_３～Ｐ_７、Ｐ_１までは反時計方向となるので、外積のＺ成分は正となります。

 

 

これら全ての外積のＺ成分を足し、1/2にすると多角形の面積が求まります。

 

この事を一般式で書くと、頂点の座標をP_i (x_i,  y_i) とすると

 

 

となります。
i は i = 1, 2, 3・・・nのインデックス番号、
|  | は絶対値です。

ただし、i = n のとき、n+1 = 1 とします。

 

また、絶対値を取っているのは、頂点の座標が時計方向へ割り振られた場合にも対応できるようにしています。

 

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