逆行列(Gauss-Jordan法)

2×2行列の逆行列

行列

逆行列

の逆行列は

逆行列

となります。
ただし、ad-bc = 0 のとき、逆行列は存在しません。

 

3×3以上の行列の逆行列

逆行列を解く手法はいくつかありますが、ここでは比較的分かり易いGauss-Jordan法を紹介します。

 

Gauss-Jordan法では行列の右側に単位行列を付けたして、行ごとに掛け算、足し算、引き算を行い、行列の左側が単位行列になるように計算を繰り返し、最後に右側に残った行列が逆行列となります。

 

といっても分かりづらいと思うので、具体的な計算例は以下の通りです。

 

行列

gauss-jordan法

の右側に単位行列を追加します。

gauss-jordan法

1行1列目の要素が1となるように1行目2で割ります

gauss-jordan法

1列目の要素が(1 0 0)となるように

[2行目] = [2行目]ー[1行目]
[3行目] = [3行目]ー[1行目]×4

を計算します。

gauss-jordan法

2行2列目の要素が1となるように2行目2倍します。

gauss-jordan法

2列目の要素が(0 1 0)となるように

[1行目] = [1行目]ー[2行目]×3/2
[3行目] =
[3行目]+[2行目]

を計算します。

gauss-jordan法

ここで、3行3列目の要素はすでに1なので、3列目の要素が(0 0 1)となるように

[1行目] = [1行目]+[3行目]×2
[2行目] = [2行目]ー[3行目]×2

を計算します。

gauss-jordan法

これで、左側が単位行列となり、右側に出来た行列が求める逆行列となります。

 

ただ、このままの方法では、求める行列の対角要素(行数と列数の同じ場所)に0(ゼロ)がある場合は対角要素を1に出来ない(0で割れない)ので、ここにピボット選択という手法を導入します。
このピボット選択についてはピボット選択を行ったGauss-Jordan法にて紹介しています。

 

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