正規直交基底

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加
最近の記事
  • 10/21 【C#】寸法線の描画
  • 10/21 【C#】GraphicsPathの領域取得
  • 10/20 【C#】GraphicsPathの描画
  • 10/18 【C#】GraphicsPath
  • 10/17 【C#】Bitmap画像データの拡大縮小
  • 10/15 【C#】画像の座標系
  • 10/14 【C#】画像の上下左右反転、90,180,270度回転
  • 10/3 【C#】SplitContainerのPanel固定方法
  • 9/7 【Neural Network Console】学習データの出力方法
  • 9/3 Deep Learning向け学習画像撮り込みソフト公開
  • 9/1 【Neural Network Console】新規画像のDataset作成方法
  • 8/28 【Neural Network Console】GUI表示スケールの変更
  • 8/22 【Neural Network Console】CPU/GPU処理の設定切替
  • 8/21 【Neural Network Console】Learning Rate(学習率)の設定
  • 8/20 ソニーの無償AIソフト Neural Network Consoleの入手ダウンロード、インストール
  • 8/20 Deep Learning
  • 8/20
  • 8/19 古いバージョンのVisual Studio Community/Expressの入手ダウンロード
  • 8/19 CUDAの入手、ダウンロード、インストール方法
  • 8/17 【C#.NET】マイクロソフト仕様のアフィン変換
  • 8/5 【C#】ファイルを開くダイアログボックスの表示
  • 8/2 キャノンプリンターのCDトレイはどこ?!
  • 7/6 【参考書籍】画像処理・機械学習プログラミング OpenCV 3対応
  • 6/20 【Python,matplotlib】動くグラフをAnimationGifに保存する方法
  • 6/17 シグモイド関数の微分
  • 6/15 シグモイド関数
  • 6/13 合成関数の微分
  • 6/12 WordPressで数式エディタ風に数式を入力したい
  • 6/11 PythonをVisual Studioでインストールする方法
  • 6/9 【Python】OpenCVをAnacondaでインストール(Windows編)
  • 6/6 【Python】Anacondaで複数バージョンの環境切り替え
  • 6/6 画像センシング展2017に出展します。
  • 6/1 【Office365】Web版Outlookのフォントサイズ変更
  • 6/1 【Anaconda】モジュールのアップデートでエラー発生
  • 6/1 【Anaconda】コマンドリストの表示
  • 5/29 Windows10パソコン購入
  • 5/24 Anacondaのアンインストール
  • 5/24 【Jupyter Notebook】新規プログラムの作成
  • 5/23 【Python】開発環境の構築
  • 5/23 Pythonはじめました
  • 4/6 【Office365】Web版Outlookのスレッド表示を解除する方法
  • 4/5 【Excel】フーリエ解析(FFT)
  • 3/20 Canny edge detection
  • 3/20 【Excel2016】分析ツールの表示
  • 3/5 【Visual Studio】黒い背景色を白に変更する方法
  • 2/8 【Windows10】拡張モニタに表示されたウィンドウを元に戻す
  • 2/7 複素数の計算
  • 1/18 【Excel】棒グラフの横軸の目盛を0始まりにする
  • 1/16 【Excel】フーリエ変換
  • 1/6 【OpenCV】疑似カラー(カラーマップ)

  • 正規直交基底はあまり馴染が無いように思いますが、フーリエ変換や主成分分析の理解をするには必要となってきます。

    【定義】

    ベクトルの大きさが1となり、互いのベクトル(任意の2つのベクトル)が
    直交するベクトルの組合せ

    となります。

    ここで、ベクトルの大きさ(ノルム)がという事は、そのベクトルは単位ベクトルであり、
    ベクトルが直交するということは、ベクトルの内積が0となる事を意味しています。

    もっとも簡単な例として、二次元ベクトルの場合

    正規直交基底

    上図のように、e1, e2

    正規直交基底

    としたとき、この e1, e2 は正規直交基底である事は分かると思います。

    ここで大事なのが、任意ベクトルe1 方向の大きさを, e2 方向の大きさをとすると、

    各ベクトルの方向の大きさは内積で求まる!

    という特徴があります。

    上記の例では

    e1方向の大きさ

    a = e1 = X  × 1 + Y × 0= X

    e2方向の大きさ

    b = e2 = X  × 0 + Y × 1= Y 

    となります。この処理を斜影と言います。

    逆に

    任意ベクトルは正規直交基底と各大きさを用いて表す事ができる!

    という特徴もあります。

    任意ベクトルを求めるには正規直交基底の各ベクトルとその大きさをかけて、ベクトルを足し合わせると求まります。

    上記の例では

      任意ベクトル  = a  × e1 + b × e2
               = a × (1, 0)+ b × (0, 1)
               =  (a, b)

    となりますが、この例はあまりにも単純な例なので、もう少しだけ具体的にして、ベクトルを

     = (4, 6)

    正規直交基底を

    正規直交基底

    とします。

    正規直交基底

    このとき e1, e2 が正規直交基底であるかどうか?は、それぞれのベクトルの大きさと、内積を計算すると確認する事が出来ます。

    正規直交基底

    正規直交基底

    正規直交基底

    また、このとき、

    e1方向の大きさ

    a = V ・e1 = 正規直交基底

    e2方向の大きさbは

    b = V ・e2 = 正規直交基底

    となります。
    逆にベクトルVを正規直交基底の e1,e2 とそれぞれの向きの大きさを用いて計算すると

    正規直交基底

    となり、確かに正規直交基底を用いると任意ベクトルを表すことができそうです。

    このことをもう少し一般化して、正規直交基底 e1,e2

    正規直交基底

    としても、任意ベクトル を表すことはできます。

    正規直交基底

    これをさらに三次元の場合でも、任意ベクトル を表すことができます。

    正規直交基底

    このノリでさらにn次元の場合でも同様に正規直交基底をe1,e2・・・,eとしても、任意n次元ベクトル を表すことができます。

    ということで、クドいですが、正規直交基底には

    任意ベクトルを正規直交基底と各大きさを用いて表す事ができる!

    という特徴があります。

    それって、もうほとんどフーリエ変換の説明になっているのですが、お気づきでしょうか?
    フーリエ変換についてはいづれ記事にしたいと思います。

    コメント

    1. […] もう少し、まじめにフーリエ変換を理解したい場合は内積や正規直交規定を理解しておくと、良いかと思います。 […]