正規直交基底

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  • 正規直交基底はあまり馴染が無いように思いますが、フーリエ変換や主成分分析の理解をするには必要となってきます。

    【定義】

    ベクトルの大きさが1となり、互いのベクトル(任意の2つのベクトル)が
    直交するベクトルの組合せ

    となります。

    ここで、ベクトルの大きさ(ノルム)がという事は、そのベクトルは単位ベクトルであり、
    ベクトルが直交するということは、ベクトルの内積が0となる事を意味しています。

    もっとも簡単な例として、二次元ベクトルの場合

    正規直交基底

    上図のように、e1, e2

    正規直交基底

    としたとき、この e1, e2 は正規直交基底である事は分かると思います。

    ここで大事なのが、任意ベクトルe1 方向の大きさを, e2 方向の大きさをとすると、

    各ベクトルの方向の大きさは内積で求まる!

    という特徴があります。

    上記の例では

    e1方向の大きさ

    a = e1 = X  × 1 + Y × 0= X

    e2方向の大きさ

    b = e2 = X  × 0 + Y × 1= Y 

    となります。この処理を斜影と言います。

    逆に

    任意ベクトルは正規直交基底と各大きさを用いて表す事ができる!

    という特徴もあります。

    任意ベクトルを求めるには正規直交基底の各ベクトルとその大きさをかけて、ベクトルを足し合わせると求まります。

    上記の例では

      任意ベクトル  = a  × e1 + b × e2
               = a × (1, 0)+ b × (0, 1)
               =  (a, b)

    となりますが、この例はあまりにも単純な例なので、もう少しだけ具体的にして、ベクトルを

     = (4, 6)

    正規直交基底を

    正規直交基底

    とします。

    正規直交基底

    このとき e1, e2 が正規直交基底であるかどうか?は、それぞれのベクトルの大きさと、内積を計算すると確認する事が出来ます。

    正規直交基底

    正規直交基底

    正規直交基底

    また、このとき、

    e1方向の大きさ

    a = V ・e1 = 正規直交基底

    e2方向の大きさbは

    b = V ・e2 = 正規直交基底

    となります。
    逆にベクトルVを正規直交基底の e1,e2 とそれぞれの向きの大きさを用いて計算すると

    正規直交基底

    となり、確かに正規直交基底を用いると任意ベクトルを表すことができそうです。

    このことをもう少し一般化して、正規直交基底 e1,e2

    正規直交基底

    としても、任意ベクトル を表すことはできます。

    正規直交基底

    これをさらに三次元の場合でも、任意ベクトル を表すことができます。

    正規直交基底

    このノリでさらにn次元の場合でも同様に正規直交基底をe1,e2・・・,eとしても、任意n次元ベクトル を表すことができます。

    ということで、クドいですが、正規直交基底には

    任意ベクトルを正規直交基底と各大きさを用いて表す事ができる!

    という特徴があります。

    それって、もうほとんどフーリエ変換の説明になっているのですが、お気づきでしょうか?
    フーリエ変換についてはいづれ記事にしたいと思います。

    コメント

    1. […] もう少し、まじめにフーリエ変換を理解したい場合は内積や正規直交規定を理解しておくと、良いかと思います。 […]