平面の方程式

下図のように点(x0, y0, z0を通り、法線ベクトルが

平面の方程式

の平面の方程式は

 a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0

となり、一般に

 ax+by+cz+d=0

と表します。

平面の方程式

なぜそうなるのか?というと、平面に垂直な法線ベクトルと、平面上の任意の2点からなるベクトルとは常に垂直である事から、法線ベクトルと、平面上の2点からなるベクトルとの内積の結果は常にとなります。

つまり、法線ベクトル(a, b, c)と平面上の2点のベクトル(x-x0, y-y0, z-z0の内積が0となるので、

 a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0

となり、これを展開したのが、平面の方程式

 ax+by+cz+d=0

となります。

平面は点が3つあれば求まるのですが、3点から平面の式を求めるには外積を用います。

外積では2つのベクトルの外積を求めると、2つのベクトルと外積の結果とは直交するという特徴があるので、下図のように

平面の方程式

平面上の3点P0, P1, P2から、P0→P1P0→P2の2つのベクトルを作り、

 (x1-x0, y1-y0, z1-z0

 (x2-x0, y2-y0, z2-z0

外積を計算すると、法線ベクトルの各成分(a, b, c)

 a=(y1-y0)×(z2-z0)-(y2-y0)×(z1-z0)

 b=(z1-z0)×(x2-x0)-(z2-z0)×(x1-x0)

 c=(x1-x0)×(y2-y0)-(x2-x0)×(y1-y0)

となり、法線ベクトルの要素のa, b, cが求まるので、平面の方程式に3点P0, P1, P2のどれかを代入すると平面の方程式が求まります。

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