行列で連立方程式を解く

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  • 行列を使って連立方程式を解く方法を紹介します。

    【計算例】

    3つの方程式

    連立方程式

    を行列であらわすと

    連立方程式

    となります。この行列を逆行列を使ってX、Y、Zに関して解くと

    行列で連立方程式を解く

    となり連立方程式を行列で解くことができます。

    …というのは普通すぎて面白くないので、3点からなる円の方程式を行列で解く方法を紹介します。

    中心(a、b)、半径 r の円の方程式

    (X – a)2 + (Y – b)2 = r2

    を展開して

    X2 + Y2 – 2aX – 2bY + a2 + b2 – r2 =  0

    となり、A = 2a、B = 2b、C = r2 – a2 – b2 とおくと、上式は

    AX + BY + C  =   X2 + Y2

    となります。

    ここで、円上の3点(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X2、Y2を代入すると

    AX0 + BY0 + C  =  X02 + Y02
    AX1 + BY1 + C  =  X12 + Y12
    AX2 + BY2 + C  =  X22 + Y22

    の3本の式が成り立ち、これを行列で表現すると、

    行列で円の方程式を解く

    となり、A、B、Cに関して行列を解くと

    円の方程式を解く

    となり、A、B、Cが求まることから、A = 2a、B = 2b、C = r2 – a2 – b2 より
    中心半径を求めることができます。

    行列を解く部分は

    ガウスの消去法

    のページを参照下さい。

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