行列で連立方程式を解く

行列を使って連立方程式を解く方法を紹介します。

 

【計算例】

3つの方程式

 

連立方程式

 

を行列であらわすと

 

連立方程式

 

となります。この行列を逆行列を使ってX、Y、Zに関して解くと

 

行列で連立方程式を解く

 

となり連立方程式を行列で解くことができます。

 

 

…というのは普通すぎて面白くないので、3点からなる円の方程式を行列で解く方法を紹介します。

 

中心(a、b)、半径 r の円の方程式

 

(X – a)2 + (Y – b)2 = r2

 

を展開して

 

X2 + Y2 – 2aX – 2bY + a2 + b2 – r2 =  0

 

となり、A = 2a、B = 2b、C = r2 – a2 – b2 とおくと、上式は

 

AX + BY + C  =   X2 + Y2

 

となります。

 

ここで、円上の3点(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X2、Y2を代入すると

 

AX0 + BY0 + C  =  X02 + Y02
AX1 + BY1 + C  =  X12 + Y12
AX2 + BY2 + C  =  X22 + Y22

 

の3本の式が成り立ち、これを行列で表現すると、

 

行列で円の方程式を解く

 

となり、A、B、Cに関して行列を解くと

 

円の方程式を解く

 

となり、A、B、Cが求まることから、A = 2a、B = 2b、C = r2 – a2 – b2 より
中心半径を求めることができます。

 

行列を解く部分は

ガウスの消去法

のページを参照下さい。

 

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