ピボット選択を行ったGauss-Jordan法

前回紹介したGauss-Jordan法で解く逆行列の計算では例えば、

のように対角要素に０（ゼロ）が来ると、０で割れないため、対角要素を１にする事ができません。

そこで、対角要素に０（ゼロ）が来ないように行を入れ替えてGauss-Jordan法を行います。
さらに、ある値を割る場合、分母の値は絶対値が大きい方が割り算の誤差が小さくなります。
（この割る要素の事をピボット（pivot)と言います。）

この事を考慮し、Gauss-Jordan法で逆行列を求める例を示します。

行列の右側に単位行列を追加します。

1行1列目の要素の絶対値が最大となるように１行目と３行目を入れ替えます。

１行１列目の要素が１となるように１行目を４で割ります。

１列目の要素が（１　０　０）となるように

[２行目] = [２行目]ー[１行目]×３
[３行目] = [３行目]ー[１行目]×２

を計算します。

ここで２行２列目の要素の絶対値はすでに最大なので、２行２列目の要素が１となるように
２行目を-9/4で割ります。

２列目の要素が（０　1　０）となるように

[１行目] = [１行目]－[２行目]×3/4
[３行目] = [３行目]－[２行目]×1/2

を計算します。

ここで、３行３列目の要素はすでに１なので、３列目の要素が（０　０　１）となるように

[1行目] = [１行目]－[3行目]×2/3
[2行目] = [３行目]+[3行目]×2/9

を計算します。

これで、左側が単位行列となり、右側に出来た行列が求める逆行列となります。

このようにピボット選択を考慮する事で、対角要素が０であっても逆行列を解くことが可能となる場合があります。