使える数学

標準偏差

標準偏差とは?

標準偏差(Standard Deviation【略】SD)はデータの散らばりぐらいを示す値で σであらわされます。
測定誤差やノイズなどの評価値として用いられます。

 

標準偏差(大) 標準偏差(小)
標準偏差 標準偏差
データ
標準偏差 標準偏差
ヒストグラム

標準偏差の計算

標準偏差は各データをXi、データの平均値を平均とすると

分散

を分散といいます。分散の平方根

標準偏差

が標準偏差となります。

この式で数学的には問題は無いのですが、式を見ても分かるように全データから平均値を求めてから各データとの差を求めるため、プログラム的には全データを2回参照することになるため、あまりよろしくありません。

標準偏差の計算

ここで平均値平均

平均値

で求まることから、分散の式は

分散の式の変形

となり、この式を用いて分散、標準偏差のプログラムを作ると、全データを1回の参照で済むので、より効率的になります。

ポイント!!

分散 = 2乗の平均 - 平均の2乗

標準偏差 = 分散の平方根

正規分布

下図のように、平均値付近にデータの出現頻度が集中し、頻度に偏りが無く、平均値に対して左右対称で、平均値から遠くなればなるほど頻度が少なくなる状態を
「正規分布にしたがう」といいます。

 

正規分布に従う

この頻度を関数であらわすと

ガウス分布

となります。
正規分布はガウス分布とも呼ばれ、画像処理のフィルタ処理にも使われます。

正規分布にしたがう場合のデータは下図のような割合で分布します。

正規分布

この特性から、測定器の測定精度やカメラで撮影した画像のノイズレベルなどにおいて1σや3σなどであらわされる場合があります。

 

実際に標準偏差を用いる場合の注意点についても以下のページにまとめましたので、合わせてご覧頂けると幸いです。

標準偏差計算の注意点
標準偏差の説明としては、    標準偏差はデータのバラツキを表す というのが多いでしょうか? その性質からデータの誤差などの指標としても用いられる事が多くあります。 しかしながら、 標準偏差=バラつき とだけ覚えていると、実際に標準偏差を用...

 

まとめ

標準偏差の計算は、計算の式を暗記しようとするのではなく、計算の方法を言葉で覚える事をおススメします。

そうすると、必然的に標準偏差が何を計算しているのか?理解できるようになると思います。

分散はデータと平均の差の二乗の平均

分散の平方根が標準偏差

分散の計算のプログラムは

分散 = 2乗の平均 - 平均の2乗

で求める。

 

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コメント

  1. […] 標準偏差の説明としては、 […]

  2. […] でも、この式もどこかで見たことがあるな~と思っていたら、正規分布の式で見たことがあります。 […]

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