ピボット選択を行ったGauss-Jordan法

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  • 前回紹介したGauss-Jordan法で解く逆行列の計算では例えば、

    Gauss-Jordan-with-pivot

    のように対角要素に0(ゼロ)が来ると、0で割れないため、対角要素を1にする事ができません。

    そこで、対角要素に0(ゼロ)が来ないように行を入れ替えてGauss-Jordan法を行います。
    さらに、ある値を割る場合、分母の値は絶対値が大きい方が割り算の誤差が小さくなります。
    (この割る要素の事をピボット(pivot)と言います。)

    この事を考慮し、Gauss-Jordan法で逆行列を求める例を示します。

    行列の右側に単位行列を追加します。

    Gauss-Jordan-with-pivot

    1行1列目の要素の絶対値が最大となるように1行目3行目を入れ替えます。

    Gauss-Jordan-with-pivot

    1行1列目の要素が1となるように1行目4で割ります。

    Gauss-Jordan-with-pivot

    1列目の要素が(1 0 0)となるように

    [2行目] = [2行目]ー[1行目]×3
    [3行目] = [3行目]ー[1行目]×2

    を計算します。

    Gauss-Jordan-with-pivot

    ここで2行2列目の要素の絶対値はすでに最大なので、2行2列目の要素が1となるように
    2行目-9/4で割ります。

    Gauss-Jordan-with-pivot

    2列目の要素が(0 1 0)となるように

    [1行目] = [1行目]-[2行目]×3/4
    [3行目] = [3行目][2行目]×1/2

    を計算します。

    Gauss-Jordan-with-pivot

    ここで、3行3列目の要素はすでに1なので、3列目の要素が(0 0 1)となるように

    [1行目] = [1行目]-[3行目]×2/3
    [2行目] = [3行目]+[3行目]×2/9

    を計算します。

    Gauss-Jordan-with-pivot

    これで、左側が単位行列となり、右側に出来た行列が求める逆行列となります。

    このようにピボット選択を考慮する事で、対角要素が0であっても逆行列を解くことが可能となる場合があります。

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