平面の方程式

下図のように点（x₀, y₀, z₀）を通り、法線ベクトルが

の平面の方程式は

　a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)=0

となり、一般に

　ax+by+cz+d=0

と表します。

なぜそうなるのか？というと、平面に垂直な法線ベクトルと、平面上の任意の２点からなるベクトルとは常に垂直である事から、法線ベクトルと、平面上の２点からなるベクトルとの内積の結果は常に０となります。

つまり、法線ベクトル（a, b, c）と平面上の２点のベクトル（x-x₀, y-y₀, z-z₀）の内積が０となるので、

　a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)=0

となり、これを展開したのが、平面の方程式

　ax+by+cz+d=0

となります。

平面は点が３つあれば求まるのですが、３点から平面の式を求めるには外積を用います。

外積では２つのベクトルの外積を求めると、２つのベクトルと外積の結果とは直交するという特徴があるので、下図のように

平面上の３点P₀, P₁, P₂から、P₀→P₁、P₀→P₂の２つのベクトルを作り、

　（x₁-x₀, y₁-y₀, z₁-z₀）

と

　（x₂-x₀, y₂-y₀, z₂-z₀）

の外積を計算すると、法線ベクトルの各成分（a, b, c）は

　a=(y₁-y₀)×(z₂-z₀)-(y₂-y₀)×(z₁-z₀)

　b=(z₁-z₀)×(x₂-x₀)-(z₂-z₀)×(x₁-x₀)

　c=(x₁-x₀)×(y₂-y₀)-(x₂-x₀)×(y₁-y₀)

となり、法線ベクトルの要素のa, b, cが求まるので、平面の方程式に３点P₀, P₁, P₂のどれかを代入すると平面の方程式が求まります。