二値化画像処理された画像において、白の部分（または黒の部分）が連続した画素に同じ番号を割り振る処理を
ラベリングと言います。

通常、同じ番号ごとの面積（画素数）や幅、高さなどの特徴量を求めて欠陥検査や分類処理などに用いられます。

ラベリングには、二値化された画像の縦、横方向に連続している部分を同じラベルにする４連結と、
縦、横、斜め方向に連続している部分を同じラベルにする８連結との２種類の処理があります。
（４近傍、８近傍という場合もあります。）

【二値化画像】
【４連結】		【８連結】

以下、８連結の場合において、ラベリング処理アルゴリズムを紹介します。

まず、画像全ての画素のラベル番号を０（ゼロ）で初期化しておき、ラベリングで番号を割り付けるための
ラベリング番号のルックアップテーブルを用意しておきます。（テーブルの使い方の詳細は後ほど）

そして、画像の左上からラスタスキャンを行い、画素の色が白の位置を検索します。

白の画素の左上、上、右上、左の画素のラベル番号を参照し、全て０（ゼロ）の場合は、最後に割り振った番号＋１のラベル番号を割り振ります。
もし、参照した画素のラベル番号が複数存在した場合は、最小の番号を割り振ります。

最初に番号を割り振った様子↓

この処理を左上からラスタスキャンして続けていきます。

新しい番号が割り振られるとき↓

新しい番号が割り振られるとき↓ その２

参照した画素のラベル番号が複数存在した場合、最小の番号を割り振ります。
このとき、用いなかったラベル番号（下図の例では３）のルックアップテーブルの番号を最小の番号に書き換えます。

同様に、処理を続けていきます↓

全ての白の画素に番号が割り振れれた様子↓

ただし、よ～く見ると、ラベル番号の２や３など、連続していない部分が存在している事に気がつきます。
そこで、ルックアップテーブルの出番です。

処理の途中でルックアップテーブルの番号を変更した番号を
２→１、３→１、６→５
に変更すると、連続した領域は同じ番号になります。

このまま番号を変更しても良いのですが、ラベル番号が虫食いになるのも気持ちが悪いので、以下のようにルックアップテーブルの番号を詰め直してから、ルックアップテーブルを参照し、全画素のラベル番号を修正すると、以下のようになります。

基本的なアルゴリズムは上記、紹介したアルゴリズムで良いのですが、ラベリング処理を行う画像のパターンによってはうまくラベル番号が割り振られない場合があります。
そこは、何とかして（ちょっと説明が難しい部分）うまく割り振られるようにチャレンジしてみて下さい。

参考までに、ラベリング処理をすると失敗しやすい特徴的な画像を添付しておきます。↓

◆Level.1

◆Level.2

◆Level.Max!?

ラベリング処理のアルゴリズムには、この手法の他にも輪郭線を追跡し、閉じた領域を１つのラベルとする手法や、ランレングス的に求める方法もあります。

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二値化された画像において、線の中心１画素分だけを残すように線を細くする処理を細線化といいます。細線化のアルゴリズムにはHilditch、田村の方法、Zhang Suenなど、いろいろあるのですが、ここでは田村の方法について説明します。
細線化は黒の線を細くする場合と白の線を細くする場合が考えられますが、以下では白の線を細くするのを前提として説明しますので、黒の線を細くする場合は白と黒を読み替えて下さい。

	→
細線化処理前		細線化処理後

ざっくり言うと、収縮処理をすると線幅が細くなりますが、線の長さが短くなったり、細い線は消えてしまったりするので、線の端点や交点、線幅が１となった画素などを除去しないように条件を付けながら収縮処理を行います。

処理をフローチャートを以下に示します。

画像全体にラスタスキャンを行い、注目画素の３×３画素の並びがパターン１に該当する場合は中心の画素を除去（白から黒に変える）します。ただし、除去しないパターンに該当する場合は除去を行いません。

パターン１に該当する画素が１画素も無ければその時点で終了です。

次にパターン１の時と同様に３×３画素の並びがパターン２に該当する場合は中心の画素を除去（白から黒に変える）します。ただし、除去しないパターンに該当する場合は除去を行いません。

パターン２に該当する画素が１画素も無ければその時点で終了です。そうでない場合はパターン１の処理に戻り、除去する画素がなくなるまでパターン１、パターン２の除去処理を繰り返します。

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アンシャープマスキング【unsharp masking】とは、画像のボヤけた輪郭を強調するフィルタ処理です。

	→
アンシャープマスキング処理前		アンシャープマスキング処理後

【処理アルゴリズム】

元画像データ

↓

元画像データの平滑化処理を行い、元画像から平滑化データを差し引きます。

↓

↓

差し引いた分を元画像に上乗せします

↓

この処理により、平滑化処理でボヤけてしまう分だけ、逆に輪郭をくっきりさせる事ができます。

この処理をカーネルで表現すると

となります。
ｋは任意レートで、値が大きいほど、輪郭が鮮明になる効果が高くなります。
（後半の元画像から平滑化画像を引いている部分の処理はラプラシアンフィルタと呼ばれます。）

今回は３×３のマスクサイズを例にとって紹介しましたが、マスクサイズを大きくするとマスクサイズよりも小さなパターンを強調する効果を得る事もできます。

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下図のように画像の輪郭（エッジ）を抽出する方法を紹介します。

	→
エッジ抽出前		エッジ抽出後

上図はソーベルフィルタの例です。

微分フィルタ

画像の輝度値に対して、隣り合う画素の輝度差が大きいほど、画像のエッジだと考えることができ、
画像の輝度値データ 画像輝度値データに対して

横方向の差分（偏微分）以下のカーネルで求めることができる。

縦方向の差分（偏微分）下のは以下のカーネルで求めることができる。

または

※画像データの並びがボトムアップかボトムダウンかにより使い分けます。

このとき、エッジの強さは

エッジの傾きは

として求めることができる。

プリューウィットフィルタ(Prewitt filter)

微分フィルタではノイズに弱いため、横方向（または縦方向）のエッジを計算してから
縦方向（または横方向）に平均化処理を行う手法です。カーネルには以下とおりです。

横方向の差分

縦方向の差分

または

ソーベルフィルタ(Sobel filter)

プリューウィットフィルタではノイズを除去するのに平滑化処理を行っていましたが、ガウシアン平滑化処理を行ったのがソーベルフィルタとなります。カーネルには以下とおりです。

横方向の差分

縦方向の差分

または

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移動平均フィルタでは注目画素周辺の輝度値を単に平均していましが、一般的な画像では 注目画素に近い画素の輝度値は注目画素の輝度値と近い場合が多いですが、注目画素から遠くなればなるほど、注目画素の輝度値とは差が大きくなる場合が多くなります。
この事を考慮し、注目画素に近いほど、平均値を計算するときの重みを大きくし、遠くなるほど重みを小さくなるようにガウス分布の関数

を用いてレートを計算しているのがガウシアンフィルタです。
σの値が小さいほど平滑化の効果は小さくなり、大きいほど効果が大きくなりますが、
よく以下のカーネルが用いられます。

３×３の場合

５×５の場合

ガウシアンフィルタにはローパスフィルタと同様の効果があるそうです。

ということで、フィルタ処理した画像をフーリエ変換し、確かめてみました。

オリジナル（処理前）の画像はこちら↓

オリジナル画像	二次元フーリエ変換画像

上記の画像にノイズ除去系のガウシアンフィルタ、移動平均フィルタ、メディアンフィルタの
処理を行い、二次元フーリエ変換を行い確認してみました。

上記画像に５×５のガウシアンフィルタ処理を行うと

５×５のガウシアンフィルタ処理	二次元フーリエ変換画像

５×５の移動平均処理を行うと

５×５の移動平均処理	二次元フーリエ変換画像

５×５のメディアンフィルタ処理を行うと

５×５のメディアンフィルタ処理	二次元フーリエ変換画像

確かに処理結果を見てみると、ガウシアンフィルタが最も高周波成分を除去できているように
思います。

なぜ、そうなるのか？
本には数式においても、この効果が証明できるような事が書いてありましたが、ちょっと難しいので、
カーネルの値について見てみたいと思います。

そもそも、ある特定の周期の成分を消すためには、どうすれば良いか？というと、
周期の半分の離れた２点のデータを平均していけば、その周波数の成分を消す事が出来ます。

ここで、画像で表すことのできる最も高い周波数は

明 暗 明 暗 明 暗 明 暗 明 暗 明 暗 明 暗 明 暗 明 暗

となる２画素周期のパターンで、このパターンを消すためには、隣り合う２画素の輝度値を
平均すると、画像データから最も高周波の成分を除去する事が出来ます。
しかし、隣り合う２画素の平均の結果は、画素間の位置の輝度値を示してしまうので、
この平均のさらに平均値を取ります。

連続する５つの輝度値の値をI_-2～I₂とすると、平均した値の平均値は

となり、なんとこの結果が３×３のガウシアンフィルタの横方向（縦方向）の係数と等しくなります。
さらに、平均の平均を取ると、５×５のガウシアンフィルタの係数と同じ。
７×７のガウシアンフィルタまで確認してみましたが、この平均の平均で表すことが出来るようです。

という訳で、ガウシアンフィルタの式

で表される係数なら何でも良いと思いつつも、

の係数が良く使われるのかも？しれませんね。

さらにこの係数、半分の半分で求めるのは、ちょっと面倒。
これがまた都合よく、（a+b）ⁿの式を展開したときの係数に使われる
パスカルの三角形の値

と一次元のガウシアンフィルタの係数と等しくなります。（少なくとも７×７ぐらいまでは）
これを以下のように二次元的に掛け合わせて、係数の合計で割ればガウシアンフィルタの係数となります。
例えば７×７のガウシアンフィルタの係数では下図のようになります。

この値を係数の合計（=4096）で割ればガウシアンフィルタの係数の出来上がり！！！
（このときσの値は約１．３となります。）

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平滑化フィルタは読んで字のごとく、画像の輝度値を平らに滑らかにするための手法です。
画像中のノイズを除去するために用いられます。

	→
	→
平滑化処理前		平滑化処理後

移動平均フィルタ（別名：平均化フィルタ、単に平滑化フィルタともいう）では、注目画素のその周辺の輝度値を用いて、

輝度値を平均し、処理後画像の輝度値とする手法です。

例えば、注目画素とその周辺の輝度値に以下のようなレートを掛け合わせて輝度値を求めます。

この３×３のレートの組合せの事をカーネル、オペレータ、マスクなどと言います。

とくに３×３である必要はなく、５×５の場合では

となります。

ただし、全てのレートを足し合わせて１になるように調整して下さい。

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関連記事

判別分析法【discriminant analysis method】は大津の二値化とも言われ、分離度（separation metrics）

という値が最大となるしきい値を求め、自動的に二値化を行う手法です。

分離度はクラス間分散（between-class variance）とクラス内分散（within-class variance）
との比で求める事ができ、以下の様に求めます。

しきい値　ｔ で二値化したとき、しきい値よりも輝度値が小さい側（黒クラス）の画素数をω₁、
平均をm₁、分散をσ₁、輝度値が大きい側（白クラス）の画素数を画素数をω₂、平均をm₂、
分散をσ₂、画像全体の画素数をω_t、平均をm_t、分散をσ_tとしたときクラス内分散σ_w²は

クラス間分散σ_b²は

としてあらわす事ができる。

ここで、全分散（total variance）σ_tは

としてあらわす事ができることから、求めるクラス間分散とクラス内分散との比である分離度は

となり、この分離度が最大となるしきい値 t を求めればよい。
ここで、全分散σ_tはしきい値に関係なく一定なので、クラス間分散σ_b²が最大となるしきい値を
求めればよい事が分かる。
さらにクラス間分散の式の分母もしきい値に関係なく一定なので、クラス間分散の分子

  ω₁ ω₂ (m₁ – m₂)²

が最大となるしきい値　t を求めればよい。
結局、分散とか関係なく、黒、白それぞれの領域のヒストグラムから、画素数ωと輝度値の
平均値ｍから上記の値が最大となるしきい値 ｔ をしらみつぶしに求めればいいので、以外と簡単．．．

【処理例】

	→
	→
	→

上記例のように、判別分析法はおおむね良好な結果を得る事ができます。

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二値化【Binarization】では画像の輝度値が指定した値（しきい値【Threshold】）以上の場合は白、値未満の場合は黒にする処理を行います。

	→
二値化処理前		二値化処理後

二値化処理では上図のように、しきい値付近に輝度値の変動がある場合、二値化処理を行うと点々とした画素が残ってしまうため、この場合は二値化処理を行う前に平滑化フィルタやメディアンフィルタなどのノイズ除去を行ってから二値化処理を行う場合が多くあります。 また、二値化処理を行うと画像の輝度値は白と黒しかないため、白の輝度値を１、黒の輝度値を０とし、１画素を１ビットであらわす事ができ、画像データサイズを小さくすることができるのですが、１画素を１ビットであらわすと各画素の輝度値の参照がかえって面倒になってしまうので、画像処理のプログラムでは白の輝度値を２５５、黒の輝度値を０として、１画素８ビット（１バイト）で扱う場合の方が一般的です。 （フォトレタッチ系のソフトでは１画素１ビットで扱う場合の方が多いと思います。）

【二値化処理の応用例】

• 欠陥検出
• 領域分割、抽出
• 処理領域のマスク（領域指定）

など  

【二値化プログラム例】
●効率の悪いプログラム例

for (j = 0; j < Height ; j++){
    for ( i = 0; i < Width; i++){ 
        //入力画像の輝度値の取得
        Bright = pSrc[i + j * Width]; 
        //二値化処理 
        if (Bright >= Threshold)
            pDst[i + j * Width] = 255;
        else
            pDst[i + j * Width] =0;
    }
}

このプログラムでは画像の全画素をｉｆ文で処理しているので、非常に非効率です。 この部分はルックアップテーブルを用いて最適化します。 また、この例では二重ループを用いて画像の輝度値を二次元的に参照していますが、二値化処理では近傍画素を用いて処理を行わないので、画像データをただの一次元的な配列として捉えても構いません。 ということで、最適化したのが以下の例です。

●効率の良いプログラム例

unsigned char LUT[256] = {0};
//二値化ルックアップテーブルの作成
for ( i = Threshold; i < 256; i++)
    LUT[i] = 255;
//二値化処理
for ( i = 0; i < Width * Height; i++)
    pDst[i] =  LUT[ pSrc[i] ];

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各種、画像処理を下記に示します。
処理の名前の部分にリンクが張ってあるものは、より詳細な説明がありますので、そちらを参照願います。

処理前	処理後
二値化、Pタイル法、判別分析法（大津の二値化）
移動平均フィルタ（カーネルサイズ７×７）
ガウシアンフィルタ（カーネルサイズ７×７）
メディアンフィルタ（カーネルサイズ７×７）
ソーベルフィルタ
Canny edge detection
細線化
ガンマ補正
アンシャープマスキング
バイラテラルフィルタ
膨張
収縮
オープニング
クロージング
トップハット
ブラックハット（ボトムハット）
ラベリング
色変換（色相抽出）
疑似カラー

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