色相（Hue：色合い）、彩度（Saturation：鮮やかさ）、明度（Brightness,Lightness,Intensity,Value：明るさ）については、以前、変換式には色相、彩度、明度ほかのページにまとめたのですが、実は訳も分からず公式だけをまとめていました。

で、なんだか気持ちが悪かったので色相、彩度、明度について、よ～く調べてみました。
私なりの理解ですが、以下にまとめました。

R、G、Bの色空間については、下図のようにRGBをXYZのように三次元座標で表すと、一辺の長さが２５５で表される立方体の範囲内で全ての色を表す事が出来ます。（R,G,B各8bitの場合）

この立方体を白（２５５、２５５、２５５）に位置から黒（０、０、０）の方向へ見て、R軸を右側に取ると、

のように、正六角形となります。
この時、赤の方向を０°として、反時計回りに緑の位置が１２０°、青が２４０°と色相（０～３６０°（２π））を定めます。
彩度は一番外側の六角形に対して、どの割合の位置に配されているかを０～１．０で表したものが彩度となります。

詳細は後述しますが、色相と彩度はカメラやパソコンなどの性能評価（使いやすさ、価格、処理速度など）を表す時に用いるレーダーチャート（クモの巣グラフ）もどきみたいな物？！と思うと、自分の中で少し整理ができました。

さらに、この六角形の高さ方法に明度を割り振ると、HSV（六角錐モデル）やHLS（双六角錐モデル）となります。
それぞれの違いは明度の定義が異なり、R、G、Bの最大輝度値をImax、最小輝度値をIminとしたときに

明度V　= Imax

としたものがHSV、

明度L　= （ Imax + Imin ） ／ ２

としたものがHLSとなり、明度の値は０～１．０で表されます。

これを立体で表すと

HSV（六角錐モデル）

HLS（双六角錐モデル）

となります。
このHSV、HLSともに、六角錐の斜面の部分が彩度が１．０となります。

以下、色相、彩度、明度の詳細な計算方法です。

HSVの計算方法

はじめにR、G、Bの輝度値の範囲を０～２５５から０～１．０となるように変換します。
（R、G、Bのそれぞれの値を２５５で割ります。）

【色相Hの求め方】
下図のように、０°方向にR、１２０°方向にG、２４０°方向にBだけ進み、最後の点の位置のR軸に対する角度が色相となります。

この最後の点の座標は中心を（ｘ、ｙ） = （０、０） とすると、R、G、Bの方向のなす角度から

となり、ｘとｙより色相Hが求まります。

ただし、アークタンジェントの計算が出来ない場合など、この方法とは別に、近似的に求める方法もあります。（こちらの方が一般的）

下図を見ても分かる？ようにR、G、Bの成分の比を比べ、

Rが最大の場合、色相は-60°(300°)～60° （R方向の０°±６０°）
Gが最大の場合、色相は 60°～180° （G方向の１２０°±６０°）
Bが最大の場合、色相は 180°～300° （B方向の２４０°±６０°）

の範囲内に色相は収まります。

以下、Rの値が最大の場合を例に取って説明したいと思います。

下図のように、２つの矢印の長さが分かれば、その矢印の比で角度６０°を分割することで、角度（色相）を近似することが出来ます。

R、G、Bの大きさがR≧G≧Bの場合

色相H　＝　６０°　×　(G – B) / (R – B)

R、G、Bの大きさがR≧B≧Gの場合

色相H　＝　６０°　×　(G – B) / (R – G)

となります。
ただし、この場合、色相の値が負となるので、

色相H　＝　６０°　×　(G – B) / (R – G) + 360°

とします。

と、なる理屈を理解するのに苦労しました．．．
図中に書いてある黄色い正三角形がポイント！
正三角形なので、三辺の長さが等しい分けで。
R以外のGやBが最大となる場合も理屈は同じです。
１２０°づつ回転させて考えてみると分かります。

この式を一般的に書くと、R、G、Bの成分のうち、最大の成分をImax、最小の成分をIminとすると

ImaxがRのとき

ImaxがGのとき

ImaxがBのとき

となります。

【明度Vの求め方】

明度は、もともとHSVの定義よりR、G、Bの成分のうち、最大の成分をImaxとすると

明度V　= Imax

とします。
明度Vの範囲は０～１．０となります。

【彩度Sの求め方】
R、G、Bの成分のうち、最大の成分をImax、最小の成分をIminとすると

彩度S　= (Imax – Imin) / Imax

となります。
彩度Sの範囲は０～１．０となります。

HLSの計算方法

【色相Hの求め方】
色相HはHSVの色相Hの求め方と同じです。

【明度Lの求め方】
明度Lは、もともとHLSの定義よりR、G、Bの成分のうち、最大の成分をImaxとすると

明度L　= （ Imax + Imin ） ／ ２

とします。
明度Lの範囲は０～１．０となります。

【彩度Sの求め方】
R、G、Bの成分のうち、最大の成分をImax、最小の成分をIminとすると

L≦0.5のとき

彩度S　= (Imax – Imin) / (Imax ＋ Imin)

L＞0.5のとき

彩度S　= (Imax – Imin) / (２ – Imax – Imin)

となります。
彩度Sの範囲は０～１．０となります。

以下、補足説明です。
彩度Sは下図の外側の六角形に対して、内側の六角形の大きさの割合で求められます。

この六角形の大きさはR,G,Bの輝度値が最大となる軸上で考えると比較的分かりやすいと思います。
今回はRの値が最大となる場合とします。

HLSは双六角錐モデルであるため、明度Lが０．５以下の場合、外側の六角形の大きさ（上図のE’の位置）は

E’　= Imax ＋ Imin

で求まります。

明度Lが０．５より大きい場合、外側の六角形の大きさ（上図のE’の位置）は

E’　= ２ – Imax – Imin

となります。

以上のことから、最初の彩度Sの式が求まります。

色相、彩度、明度を使った色判別時の注意点

色相および彩度を用いると、画像の明るさ（明度）が変動しても似た色の領域を抽出する事が可能となりますが、彩度の値が小さい場合、つまりR、G、Bの値がそれぞれ近い場合は色相の値が不安定になります。

例えば、
（R、G、B）　＝　（１２１、１２０、１２０）の場合、　色相H　＝　０°
（R、G、B）　＝　（１２０、１２１、１２０）の場合、　色相H　＝　１２０°
（R、G、B）　＝　（１２０、１２０、１２１）の場合、　色相H　＝　２４０°

と、ほんの少しのR、G、Bの値の違いでも色相の値は大きく異なります。

また、色相Hは角度で表されるので、例えば１°も３５９°も値こそ離れていますが、どちらも０°±１°の範囲内で角度的には近いので、色相Hの値で単純に二値化処理することで色の領域を抽出する場合は注意して下さい。

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カラーの画像処理をする時には、これら色相などの知識は必須となります。
Windows標準で付いてくるペイントで、色の作成の表示をすると、雰囲気が分かると思います。

基本的に以下の色相、彩度、明度を用いて色を表すのですが、変換式にいくつかの種類があります。

色相（Hue）

色合いを表します。
赤や緑、青などに色を０～360°（０～2π）の角度を用いて表します。

彩度（Saturation）

鮮やかさを表します。
と一般的に言われるのですが、鮮やかさ？と言われても、いまいちピンと来ませんが、下記に示した式から見ても分かるように、R,G,Bの値にどれだけ開きがあるか？を示しています。
このことは逆にいうと、R,G,Bの値に開きが無い場合は、グレーに近い事から、彩度は如何にグレーっぽく無いか？、という事から、どれだけ純色（赤、緑、青、黄、シアン、紫など）に近いか？を表しています。

明度（Brightness,Lightness,Intensity,Value）

色の明るさを表します。

HSV変換

６角錐モデルとも言います。

【RGB⇒HSV変換】

Imax = Max(R,G,B)
Imin = Min(R,G,B)
とすると

R = Imaxのとき

H = 60×(G – B) / (Imax – Imin)

G = Imaxのとき

H = 60×(B – R) / (Imax – Imin) + 120

B = Imaxのとき

H = 60×(R – G) / (Imax – Imin) + 240

S = (Imax – Imin) / Imax

V = Imax

【HSV⇒RGB変換】

h = floor(H / 60)     floor()は切り捨て処理
P = V × (1 – S)
Q = V × (1 – S × (H / 60 – h))
T = V × (1 – S × (1 – H / 60 + h))
とすると

h= 0のとき

R = V, G = T, B = P

h= 1のとき

R = Q, G = V, B = P

h= 2のとき

R = P, G = V, B = T

h= 3のとき

R = P, G = Q, B = V

h= 4のとき

R = T, G = P, B = V

h= 5のとき

R = V, G = P, B = Q

HLS変換

双６角錐モデルとも言います。

【RGB⇒HLS変換】

Imax = Max(R,G,B)
Imin = Min(R,G,B)
とすると

R = Imaxのとき

H = 60×(G – B) / (Imax – Imin)

G = Imaxのとき

H = 60×(B – R) / (Imax – Imin) + 120

R = Imaxのとき

H = 60×(R – G) / (Imax – Imin) + 240

L = (Imax + Imin) / 2

L ≦ 0.5のとき

S = (Imax – Imin) / (Imax + Imin)

L > 0.5のとき

S = (Imax – Imin) / (2 – Imax – Imin)

【HLS⇒RGB変換】

h < 0のとき

h’ = h  + 360

h ≧ 360のとき

h’ = h  – 360

その他

h’ = h

L ≦ 0.5のとき

M2 = L × (1 + S)

L > 0.5のとき

M2 = L + S – L × S

M1 = 2 × L – M2

h’ < 60のとき

X = M1 + (M2 – M1) × h’ / 60

60 ≦ h’ < 180のとき

X = M2

180 ≦ h’ < 240のとき

X = M1 + (M2 – M1) × (240 – h’ ) / 60

240 ≦ h’ ≦ 360のとき

X = M1

とすると

R = X ただし、h = H + 120とする

G = X ただし、h = Hとする

B = X ただし、h = H – 120とする

カラー変換用関数

【Win32APIの場合】 VBの表記例
‘ＨＬＳ変換(Windows 2000以降、またはInternet Explorer 5.0がインストールされてある環境。(SHLWAPI.DLL Version 5.00以上)
‘h (色相)
‘赤(0)、黄(40)、緑(80)、シアン(120)、青(160)、マゼンダ(200)の順に定義0～239まで設定可
‘L (明度)
‘色の明るさをあらわす。0～240まで設定可。0が黒、240が白になる。
‘s (彩度)
‘0～240まで設定可。240が純色になる。
Public Declare Sub ColorRGBToHLS Lib “SHLWAPI.DLL” _

(ByVal clrRGB As Long, _
pwHue As Integer, _
pwLuminance As Integer, _
pwSaturation As Integer)

Public Declare Function ColorHLSToRGB Lib “SHLWAPI.DLL” _

(ByVal wHue As Integer, _
ByVal wLuminance As Integer, _
ByVal wSaturation As Integer) As Long

最初に紹介したペイントの色の作成では、この関数と同様の変換（設定値を含めて同じ）をしています。

【.NET Frameworkの場合】
System.Drawing.Color構造体にて

GetHueメソッド　　　　　　HSBのH（色相）を取得
GetSaturationメソッド　　 HSBのS（彩度）を取得
GetBrightnessメソッド　　 HSBのB（明度）を取得

RGB⇒HSB変換はなし？

【OpenCVの場合】
cvCvtColor関数にて、以下の変換に対応
XYZ, YCrCb(YCC), HSV, HLS, L*a*b, L*u*v
その他　同じcvCvtColor関数で　Bayer変換に対応

カラー画像処理例

そのカラー画像を色相、彩度、明度に分解し、それぞれの値（主に色相）でフィルタリング処理（バンドパスフィルタ）を行い、カラー画像に逆変換する事により、特定の色だけを抽出する事が可能になります。これにより、色の位置や個数などの検査をする事が可能となります。

	→
処理前		処理後

ただし、彩度の値の小さな色（白やグレーに近い色）は彩度の値が不安的になりがちなので、カラー画像処理には不向きです。

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平滑化フィルタやメディアンフィルタなどの注目画素の周辺画素を用いた画像フィルタ処理では、画像の外周部分が下図のように画像の外側を参照してしまうため、処理ができなくなります。

この外周部分を処理する方法はいくつかあるのですが、代表的な方法を紹介します。
以下、５×５サイズのカーネルを用いた場合の処理を例にとって紹介します。

■外周部分の輝度値を画像の外側にコピーして補間する方法

５×５サイズのカーネルの場合、画像の外側に２画素分、画像の輝度値を参照
してしまうので、この２画素分の輝度値を画像の外周部分の輝度値をコピーして
輝度値を参照します。

おそらく？この手法が一般的だと思います。

■外周部分を中心にして対称の位置にある輝度値を外側にコピーして補間する方法

例えば、カーネルが座標（－１、－２）の画素を参照する場合は座標（１、２）の画素の輝度値を参照するようにします。

他にも、単純に外周部分は処理をしないで黒（輝度値＝０）でマスクしたり、カーネルが画像の外側を参照する場合にカーネルを形を変えて画像の外側を参照しないようにしたりする方法などもあります。

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画像を回転する場合、任意点周りの回転移動でも紹介したように回転行列を使って、例えば、画像の中心周りに画像を回転させると、下図のように回転後の画像が虫食い状態になってしまいます。

	→
回転前の画像		回転後の画像

こうならないようにするためには、回転前の画像の座標を回転行列を使って回転後の座標を計算するのではなく、回転後の座標が回転前の画像のどの座標を参照しているのかを計算し、画像を変換します。

つまり、画素を置きに行くのではなく、拾いに行くようにします。

【回転前の画像を回転行列を使って変換】

【回転後の座標が回転前のどの座標を参照しているかを計算して変換】

実際の変換処理は以下のように行います。

回転前の画像の座標を（ｘ，ｙ）、回転後の画像の座標を（Ｘ，Ｙ）、画像の中心座標を（Ｃｘ，Ｃｙ）とすると単純に画像の中心周りに座標を回転すると以下のような行列で表されます。

この行列を回転前の画像の座標（ｘ、ｙ）に関して解けばいいので、行列の式の両辺にそれぞれ逆行列をかければいいので、以下のような手順で行列を解いていきます。

これで、回転前の座標（ｘ、ｙ）に関して解くことができます。
でも、逆行列を解くのは面倒と思う事なかれ。
（+Ｃｘ，+Ｃｙ）の平行移動の逆行列は（－Ｃｘ、－Ｃｙ）方向への移動と同じ、＋θ方向への回転の逆行列は－θ方向への回転と同じなので、

とすれば、逆行列を解くことなく回転後の座標（ｘ、ｙ）に関して座標を解くことができます。
このようにして画像の回転処理を行うと、このようになります。

	→
回転前の画像		回転後の画像

でも、回転後の画像はなんかギザギザしてしまっていますが、これは回転前の画像の座標を計算するとほとんどの場合、画素の画素の間の座標となってしまいますが、上図の例ではこの座標を四捨五入して輝度値を参照しているためで、bilinearやbicubicなどの補間を使うと少しは滑らかな画像となります。

今回は画像の回転について紹介していますが、画像の拡大縮小についても同様の考え方で処理することができます。

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画像の拡大縮小、回転、平行移動などを行列を使って座標を変換する事をアフィン変換と呼びます。

X,Y座標の二次元データをアフィン変換するには、変換前の座標を（x, y）、変換後の座標を（x’,y’）とすると回転や拡大縮小用の２行２列の行列と、平行移動用に２行１列の行列を使って

$$\left(\begin{array}{c}x^{‘}\\ y^{‘}\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}a & b\\ c & d\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)
+ \left(\begin{array}{c}T_{x}\\ T_{y}\end{array}\right)$$

のように表現される場合もありますが、回転、拡大縮小、平行移動を１つの３ｘ３の行列にまとめて

$$\left(\begin{array}{c}x^{‘}\\ y^{‘} \\ 1\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}a & b & c\\ d & e & f\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)$$

と３ｘ３の行列で表現する場合もあります。

この表現を同次座標系と呼びます。

同次座標系では一見、３行目は無駄なようにも見えるのですが、この意味の無いような１行を追加する事で、平行移動も同じ行列の積で表現でき、逆行列を使う事で、アフィン変換後の座標からアフィン変換前の座標も簡単に求める事ができるようになります。

私は3行3列の行列を用いた同次座標系のアフィン変換しかしていない、というか断然おススメなので、同次座標系で説明したいと思います。

後半でアフィン変換の実用例を示しているので、その部分で、同次座標系の恩恵を感じてもらえると嬉しいです。

変換前の画像を以下のようにすると、

各種変換は以下の通りとなります。

拡大縮小

X軸方向の拡大率をSx、Y軸方向の拡大率をSyとすると拡大縮小のアフィン変換は

と表されます。

例）X軸方向に２倍

例）Y軸方向に２倍

例）X軸、Y軸方向に２倍

例）Y軸方向に－１倍

このように、ある軸（上記の例ではX軸）に対して反転する処理の事を鏡映と呼びます。

平行移動

X軸方向にT_x、Y軸方向にT_yだけ移動するアフィン変換は

のように表されます。

回転

原点を中心に反時計回りにθ°回転する時のアフィン変換は

のように表されます。

スキュー（せん断）

四角形の画像を平行四辺形に変形する処理をスキューまたはせん断といいます。
このアフィン変換は

アフィン変換の実用方法

画像処理で使われるアフィン変換は、下図のようにピクチャボックスなどの左上が原点[座標が（0, 0)]で右方向が＋X、下方向が＋Y、時計周りが＋θ方向となる場合が多いかと思います。

また、平行移動、拡大縮小、回転などの行列を紹介しましたが、これらの行列を１回だけで処理する事はまれで、それぞれの行列を組み合わせてアフィン変換を行います。
さらに、拡大縮小、回転、スキューのアフィン変換行列は、あくまでも原点を基点として、変換される事に注意が必要です。

例えば、画像が原点の位置に無い場合、画像をX,Y方向に２倍の大きさにしようとしたとき、単に拡大縮小のアフィン変換行列で座標を計算すると、表示位置も２倍、原点の位置から離れた位置に移動します。

これらの事を踏まえ、画像を幅方向に２倍、高さ方向に３倍し、画像を反時計方向に９０°回転、さらに、画像の左上の座標が（50, 50）から(30,180)へ移動するアフィン変換を例題にとって考えたいと思います。

この変換は、一発で変換するアフィン変換行列を考えるのではなく、平行移動、拡大縮小、回転に分けて、アフィン変換の順番を考えます。

①拡大縮小と回転が原点を基点とするため、画像を原点の位置へ移動するため、x方向に-50、y方向に-50の平行移動します。

平行移動のアフィン変換行列は

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -50 \\ 0 & 1 & -50 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

②拡大縮小か回転のどちらからでも構いませんが、x方向に２倍、ｙ方向に３倍の拡大縮小を行います。

拡大縮小のアフィン変換行列は

$$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

③反時計周りに９０°回転（ー９０°回転）を行います。

回転のアフィン変換行列は

$$\begin{pmatrix} cos(-90) & -sin(-90) & 0 \\ sin(-90) & cos(-90) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

④最後に目的の位置へ移動するのに、x方向に+30、y方向に+180の平行移動します。

平行移動のアフィン変換行列は

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 30 \\ 0 & 1 & 180 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

このようにアフィン変換を平行移動、拡大縮小、回転に分解して、変換の手順を考える事が大事です。
今回の場合は

変換前 → 平行移動 → 拡大縮小 → 回転 → 平行移動 → 変換後

としています。

画像に対してアフィン変換を行う場合、考え方としては、平行移動や拡大縮小などに分解して考えますが、画像データを毎回変換するのではなく、アフィン変換行列をまとめて計算し、一発でアフィン変換処理を行います。

具体的には、今回のアフィン変換処理を行列で表すと

$$\begin{pmatrix} { x }^{ ‘ } \\ { y }^{ ‘ } \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 30 \\ 0 & 1 & 180 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} cos(-90) & -sin(-90) & 0 \\ sin(-90) & cos(-90) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -50 \\ 0 & 1 & -50 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}$$

行列部分をまとめて計算し

$$\begin{pmatrix} { x }^{ ‘ } \\ { y }^{ ‘ } \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 3 & -120 \\ -2 & 0 & 280 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}$$

となり、アフィン変換行列を一発で処理する事ができます。

さらに、変換後の座標（x’, y’）から、変換前の座標(x, y)を求める場合があるのですが、その時は、行列の左側からアフィン変換行列の逆行列を掛けて、

$$\begin{pmatrix} 0 & 3 & -120 \\ -2 & 0 & 280 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{ -1 }\begin{pmatrix} { x }^{ ‘ } \\ { y }^{ ‘ } \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 3 & -120 \\ -2 & 0 & 280 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{ -1 }\begin{pmatrix} 0 & 3 & -120 \\ -2 & 0 & 280 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 3 & -120 \\ -2 & 0 & 280 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{ -1 }\begin{pmatrix} { x }^{ ‘ } \\ { y }^{ ‘ } \\ 1 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -0.5 & 140 \\ 0.333 & 0 & 40 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} { x }^{ ‘ } \\ { y }^{ ‘ } \\ 1 \end{pmatrix}$$

として、変換前の座標を求める事ができます。

まとめ

• アフィン変換は平行移動、拡大縮小、回転、スキューに分けて、変換の順番を考える
• 実際のアフィン変換は、アフィン変換行列をまとめて計算し、一発で処理を行う
• 変換前の座標は逆行列を使うと、求めることができる

この順番の考え方は、ほとんどの場合、画像を原点へ平行移動し、拡大縮小、回転を行ってから、目的の位置へ移動すると、アフィン変換行列が求まりますが、他にも、特定の点を基準に拡大縮小や回転を行う場合は、その点を原点へ移動すればアフィン変換行列が求まります。

（参考）

注意点

アフィン変換では任意の３×３（２×３）の行列で表す事ができるので、任意形状に変換できそうにも思えるのですが、四角形が平行四辺形にまでは変形できるものの、台形には変形できないのでご注意願います。
この台形に変形できる処理は射影変換（ホモグラフィ）と呼びます。

アフィン変換は今回の説明のように、画像を移動、変形させるための手法として説明されますが、もう少し汎用的に座標変換として捉えると応用範囲が広がります。

例えば、データのグラフを表示する時に、横方向、縦方向に拡大/縮小した時に、表示するデータの範囲を求める場合などに応用すると、少し便利です。

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関連記事

実際にOpenCVを使って行うアフィン変換については、こちらのページ↓にまとめました。

マイクロソフトの.NETやDirectXで扱うアフィン変換行列は、行と列が逆になり、行列を掛ける順番も逆（右側から掛ける）になります。
この仕様については、下記ページ↓にまとめました。