ロバスト推定法(Tukey’s biweight)

ロバストとは？

ロバスト（Robust）という言葉を辞書で調べると、「頑健なさま、がっしりした様子」という意味が載っています。

画像処理的には、ノイズや影、明るさの変動などの影響を受けにくく、安定した処理結果が得られる、ぐらいの意味として捉えれば良いでしょう。

通常の最小二乗法では下図のように、数点の大きな誤差が含まれるだけでも、近似した直線が大きくズレてしまう場合があります。
この誤差の影響をできるだけ受けないようにしたのが、ロバスト推定法です。

まずは最初に、通常の最小二乗法を行います。
（今回は簡単にするため一次式で近似する例で紹介します。）

直線の式（ｙ＝ａｘ＋ｂ）で近似する場合は以下のように行列を用いて解くことができます。

この近似した直線から遠く離れたデータを除去するだけでも、大きな誤差のデータの影響を受けなくなりそうですが、ここでは、誤差の大きさに応じて重みを付けるTukeyのBiweight推定法という手法を紹介します。

近似データ（Xi、Yi）と近似直線との誤差　d=Yi – (aXi + b)　を用いて、誤差が大きければ大きいほど、
最小二乗に与える影響力（重み）が小さくなるように、以下のような式を用いて重み計算します。

d < －Wの場合

－W　＜＝　d ＜＝　Wの場合

W < dの場合

ただし、大文字のＷは誤差の許容範囲を示します。

この重みの関数w(d)をグラフで示すと、このようになります。

上図を見ても分かるように誤差の絶対値がWを超えると重みが０となり、次に行う重み付き最小二乗法では近似に影響を与えなくなり、逆に誤差が０に近づく程、重みが増し、近似への影響が大きくなります。

この重み　wi　を各近似データ（Xi、Yi）に関して計算し、wiを付加した最小二乗法を再度行います。

こうして求めた近似式（y = a’X + b’）は最初に求めた近似式よりも、測定データに近づきます。
この処理を誤差の許容範囲（Ｗ）を小さくしながら、誤差が少なくなるまで繰り返すことで、より測定データに近づいた近似式を得ることができます。

今回の例では一次式について示していますが、他のｎ次式などについても、同様に行列の各要素に重みを付加することで、ロバスト推定を行うことができます。