一般式による最小二乗法(円の最小二乗法)

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加
最近の記事
  • 10/21 【C#】寸法線の描画
  • 10/21 【C#】GraphicsPathの領域取得
  • 10/20 【C#】GraphicsPathの描画
  • 10/18 【C#】GraphicsPath
  • 10/17 【C#】Bitmap画像データの拡大縮小
  • 10/15 【C#】画像の座標系
  • 10/14 【C#】画像の上下左右反転、90,180,270度回転
  • 10/3 【C#】SplitContainerのPanel固定方法
  • 9/7 【Neural Network Console】学習データの出力方法
  • 9/3 Deep Learning向け学習画像撮り込みソフト公開
  • 9/1 【Neural Network Console】新規画像のDataset作成方法
  • 8/28 【Neural Network Console】GUI表示スケールの変更
  • 8/22 【Neural Network Console】CPU/GPU処理の設定切替
  • 8/21 【Neural Network Console】Learning Rate(学習率)の設定
  • 8/20 ソニーの無償AIソフト Neural Network Consoleの入手ダウンロード、インストール
  • 8/20 Deep Learning
  • 8/20
  • 8/19 古いバージョンのVisual Studio Community/Expressの入手ダウンロード
  • 8/19 CUDAの入手、ダウンロード、インストール方法
  • 8/17 【C#.NET】マイクロソフト仕様のアフィン変換
  • 8/5 【C#】ファイルを開くダイアログボックスの表示
  • 8/2 キャノンプリンターのCDトレイはどこ?!
  • 7/6 【参考書籍】画像処理・機械学習プログラミング OpenCV 3対応
  • 6/20 【Python,matplotlib】動くグラフをAnimationGifに保存する方法
  • 6/17 シグモイド関数の微分
  • 6/15 シグモイド関数
  • 6/13 合成関数の微分
  • 6/12 WordPressで数式エディタ風に数式を入力したい
  • 6/11 PythonをVisual Studioでインストールする方法
  • 6/9 【Python】OpenCVをAnacondaでインストール(Windows編)
  • 6/6 【Python】Anacondaで複数バージョンの環境切り替え
  • 6/6 画像センシング展2017に出展します。
  • 6/1 【Office365】Web版Outlookのフォントサイズ変更
  • 6/1 【Anaconda】モジュールのアップデートでエラー発生
  • 6/1 【Anaconda】コマンドリストの表示
  • 5/29 Windows10パソコン購入
  • 5/24 Anacondaのアンインストール
  • 5/24 【Jupyter Notebook】新規プログラムの作成
  • 5/23 【Python】開発環境の構築
  • 5/23 Pythonはじめました
  • 4/6 【Office365】Web版Outlookのスレッド表示を解除する方法
  • 4/5 【Excel】フーリエ解析(FFT)
  • 3/20 Canny edge detection
  • 3/20 【Excel2016】分析ツールの表示
  • 3/5 【Visual Studio】黒い背景色を白に変更する方法
  • 2/8 【Windows10】拡張モニタに表示されたウィンドウを元に戻す
  • 2/7 複素数の計算
  • 1/18 【Excel】棒グラフの横軸の目盛を0始まりにする
  • 1/16 【Excel】フーリエ変換
  • 1/6 【OpenCV】疑似カラー(カラーマップ)

  • n次曲線による最小二乗法につていは説明しましたが、円や楕円、その他の一般式についても最小二乗法による近似は可能です。
    今回は円の最小二乗法を例にとって説明しますが、他の一般式についても要領は同じです。

    まず初めに近似する一般式を作成します。

    円の場合、円の中心座標(a,b)、円の半径 r とすると

    (X – a)2 + (Y – b)2 = r2 ・・・①

    となります。

    n次曲線による最小二乗法ではX座標がXiの時のY座標Yiと近似曲線上のY座標f(Xi)との差の二乗が最小になるように計算していましたが、円の場合、X座標がXiの時にY座標が存在しなかったり、Y座標が2点存在してしまう場合もあります。

    そこで、今回はY座標の差の2乗の総和を求めるのではなく、①式を=0の式に変形し、
    点の座標(Xi,Yi)を代入し、その式の2乗の総和を求めます。
    (n次式近似でやった計算も結局は近似式=0になるように変形していた訳ですが...)

    ①式を=0になるように変形し、2乗の総和は

    ∑{(Xi – a)2 + (Yi – b)2 – r22 = 0 ・・・②

    となります。

    ただし、このまま未知数a,b,rに関して②式を偏微分してもa,b,rは4次関数となるので、各未知数の偏微分=0の時が最小とは限りません。

    そこで、②式を展開し、下の式のように置きます。

    ∑{Xi2 + Yi2 + AXi + BYi + C}2 = 0 ・・・③

    ただし

    A = -2a ・・・④
    B = -2b ・・・⑤
    C =  a2 + b2 – r2 ・・・⑥

    ③式に関してA,B,Cについて偏微分すると

    ∂/∂A = A∑Xi2 + B∑XiYi + C∑Xi + ∑Xi3 + ∑XiYi2 = 0 ・・・⑦
    ∂/∂B = A∑XiYi + B∑Yi2 + C∑Yi + ∑Xi2Yi + ∑Yi3 = 0 ・・・⑧
    ∂/∂C = A∑Xi + B∑Yi + C∑1  + ∑Xi2 + ∑Yi2 = 0 ・・・⑨

    ⑦、⑧、⑨式を行列を用いて解くと

    円の最小二乗法

    となり、逆行列を求めるとA,B,Cが求まります。

    さらに④、⑤、⑥式より円の中心座標(a,b)、円の半径 rが求まります。

    使える数学へ戻る

    コメント

    1. […] 最小二乗法 一般式による最小二乗法 […]