外積を用いて三角形の面積を求める方法を紹介します。

まず、外積のおさらいですが、三次元ベクトルにおいて２つのベクトルの外積の大きさが２つのベクトルからなる平行四辺形の大きさに一致する特徴がありました。

この２つのベクトルのＺ成分を０（ゼロ）にして二次元座標へ応用します。

２つのベクトルを

とすると、２つのベクトルの外積は、ｘ成分とｙ成分は０（ゼロ）となり、ｚ成分の大きさが平行四辺形の面積の大きさとなる事から、３点からなる三角形の面積は平行四辺形の半分の大きさとなり、

となります。

例題

３点、Ａ（1, 3）, B（3, 4）, Ａ（2, 6）からなる三角形の面積を求めよ。

解）

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下図のように点（x₀, y₀, z₀）を通り、法線ベクトルが

の平面の方程式は

　a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)=0

となり、一般に

　ax+by+cz+d=0

と表します。

なぜそうなるのか？というと、平面に垂直な法線ベクトルと、平面上の任意の２点からなるベクトルとは常に垂直である事から、法線ベクトルと、平面上の２点からなるベクトルとの内積の結果は常に０となります。

つまり、法線ベクトル（a, b, c）と平面上の２点のベクトル（x-x₀, y-y₀, z-z₀）の内積が０となるので、

　a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)=0

となり、これを展開したのが、平面の方程式

　ax+by+cz+d=0

となります。

平面は点が３つあれば求まるのですが、３点から平面の式を求めるには外積を用います。

外積では２つのベクトルの外積を求めると、２つのベクトルと外積の結果とは直交するという特徴があるので、下図のように

平面上の３点P₀, P₁, P₂から、P₀→P₁、P₀→P₂の２つのベクトルを作り、

　（x₁-x₀, y₁-y₀, z₁-z₀）

と

　（x₂-x₀, y₂-y₀, z₂-z₀）

の外積を計算すると、法線ベクトルの各成分（a, b, c）は

　a=(y₁-y₀)×(z₂-z₀)-(y₂-y₀)×(z₁-z₀)

　b=(z₁-z₀)×(x₂-x₀)-(z₂-z₀)×(x₁-x₀)

　c=(x₁-x₀)×(y₂-y₀)-(x₂-x₀)×(y₁-y₀)

となり、法線ベクトルの要素のa, b, cが求まるので、平面の方程式に３点P₀, P₁, P₂のどれかを代入すると平面の方程式が求まります。

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正規直交基底はあまり馴染が無いように思いますが、フーリエ変換や主成分分析の理解をするには必要となってきます。

【定義】

となります。

ここで、ベクトルの大きさ（ノルム）が１という事は、そのベクトルは単位ベクトルであり、
ベクトルが直交するということは、ベクトルの内積が０となる事を意味しています。

もっとも簡単な例として、二次元ベクトルの場合

上図のように、e₁, e₂を

としたとき、この e₁, e₂ は正規直交基底である事は分かると思います。

ここで大事なのが、任意ベクトルＶの e₁ 方向の大きさをａ, e₂ 方向の大きさをｂとすると、

各ベクトルの方向の大きさは内積で求まる！

という特徴があります。

上記の例では

e₁方向の大きさａは

ａ = Ｖ ・ e₁ = X  × 1 + Y × 0= X

e₂方向の大きさ ｂ は

ｂ = Ｖ ・ e₂ = X  × 0 + Y × 1= Y　

となります。この処理を斜影と言います。

逆に

任意ベクトルは正規直交基底と各大きさを用いて表す事ができる！

という特徴もあります。

任意ベクトルを求めるには正規直交基底の各ベクトルとその大きさをかけて、ベクトルを足し合わせると求まります。

上記の例では

　　任意ベクトルＶ 　= ａ  × e₁ + ｂ × e₂
　　　　　　　　　　 = ａ × (1, 0)+ ｂ × (0, 1)
　　　　　　　　　　 =  (ａ, ｂ)

となりますが、この例はあまりにも単純な例なので、もう少しだけ具体的にして、ベクトルを

Ｖ 　= （4, 6)

正規直交基底を

とします。

このとき e₁, e₂ が正規直交基底であるかどうか？は、それぞれのベクトルの大きさと、内積を計算すると確認する事が出来ます。

また、このとき、

e₁方向の大きさａは

ａ = Ｖ ・e1 =

e₂方向の大きさｂは

ｂ = Ｖ ・e2 =

となります。
逆にベクトルＶを正規直交基底の e₁,e₂ とそれぞれの向きの大きさを用いて計算すると

となり、確かに正規直交基底を用いると任意ベクトルを表すことができそうです。

このことをもう少し一般化して、正規直交基底 e₁,e₂ を

としても、任意ベクトルＶ　を表すことはできます。

これをさらに三次元の場合でも、任意ベクトルＶ　を表すことができます。

このノリでさらにｎ次元の場合でも同様に正規直交基底をe₁,e₂・・・,e_ｎとしても、任意ｎ次元ベクトルＶ　を表すことができます。

ということで、クドいですが、正規直交基底には

任意ベクトルを正規直交基底と各大きさを用いて表す事ができる！

という特徴があります。

それって、もうほとんどフーリエ変換の説明になっているのですが、お気づきでしょうか？
フーリエ変換についてはいづれ記事にしたいと思います。

内積は計算そのものは簡単な割にはとても応用範囲が広いので、私の好きな処理の一つなのです。

内積の定義は以下の通りです。

上図のようにベクトルａとベクトルｂの成分を以下のように表すと

２つのベクトルの内積は

であらわされます。

ただし、ベクトルの大きさは、ノルムと呼ばれ、以下のように計算します。

さらに一般的にｎ次元ベクトルの場合、２つのベクトルを

a=(a₁,a₂,a₃,・・・,a_n)

b=(b₁,b₂,b₃,・・・,b_n)

とすると（添え字の無いａとｂは太字で表します）、内積の計算は

となります。

ここまでが、普通に学校で習う内積なのですが、この内積の式をいろいろ変形させて使う事で、応用例が広がります。

例えば内積の式を　cosθ=　の式に変形して

とすると、定式で求めたcosθのアークコサインを計算すると、２つのベクトルのなす角を求める事ができます。

さらにcosθをそのまま用いて、cosθが１の時は２つのベクトルが向きが一致し、cosθが－１の時は２つのベクトルが向きが逆向きとなる事から２つのベクトルの大きさに関係なく、２つのベクトルがどれだけ似ているか？の指標に使われる場合があります。例えば、画像処理では正規化相関が、まさにそのものとなります。

また、内積の式を

のように変形すると、ベクトルｂの成分の内、ベクトルａの方向にどれだけの成分があるか？の計算をする事ができます。

この処理は、いづれ出てくるであろう正規直行規定への斜影の処理と同じです。

さらに言うとフーリエ変換の一部とも考える事ができます。

と言う事で、内積そのものの計算は同じ成分同士を掛けて足し合わせだけなので簡単なのですが、応用範囲が広いので好きなのです。

内積はニュアンス的には、どれだけ似ているか？　もしくは　似ている成分を抽出する手法として用いる事ができます。

例えば３×３フィルタの一つのソーベルフィルタも、

X方向へは

Ｙ方向へは

と表せれますが、これは一般的には画像を微分している！という捉え方が多いですが、９次元ベクトルの内積を計算している！とも考えられます。

そう考えると、ソーベルフィルタの結果は、左から右（上から下）方法へ向かって暗から明へ変化する場合は値が正となり、明から暗へ変化する場合は負となるのも納得できます。

さらにエッジの強さが強い時は値が大きくなるのも内積の特性と一致します。

と、無理やり内積をこじつける必要もありませんが、正規化相関やフーリエ変換は内積と同じ！と思えると、一見難しそうなアルゴリズムでも、少し簡単に見えてくると思います。
 

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ベクトルａからベクトルｂを引く場合、

上図のように引く側のベクトルの終点から、引かれる側の終点へ向かうベクトルが引き算の結果となります。

といっても覚えづらいので、引く側のベクトルを負にして、向きを逆にし、ベクトルの足し算として捉えた方が覚えやすいと思います。

ベクトルの成分であらわすと、

となります。

学校で、このように答えると×をもらうかも？しれませんが、ベクトルは向きと大きさしか持たず、位置の情報は無いので、大人になってから覚えるベクトルの引き算はこれでOKです。

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ベクトルａとベクトルｂを足す場合、

上図のように始点⇒終点⇒始点⇒終点とつなき合わせていき、最初のベクトルの始点から最後のベクトルの終点へ向かうベクトルが足し算の結果となります。

ベクトルの成分で表すと

となります。

足す順番を入れ替えても結果は同じです。

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ベクトルは向きと大きさをもった量を表します。

向きが逆の場合、ベクトルは負となります。

ベクトルを座標で表すと以下のようになります。

ベクトルの大きさは三平方の定理より、以下のようになり、この大きさをノルムと言います。

三次元の場合も同様に点Ｐ_１（Ｘ_１，Ｙ_１，Ｚ_１）から点Ｐ_２（Ｘ_２，Ｙ_２，Ｚ_２）へ向かうベクトルの場合は

となり、ノルムも

となります。

ここまでは、ベクトルを矢印で表す事のできるベクトルで幾何ベクトルと言います。

画像処理においては、より一般的にｎ個の数の組み合わせからなるｎ次元ベクトルとして扱う場合があります。

表記方法は一般に文字を太字にして

のように書きます。

こうなると、矢印で表す事ができなく、数ベクトルと言います。

画像処理的には、例えば、輝度値の平均、最小値、最大値、分散を使った

　　a=（平均、最小値、最大値、分散）

のような４次ベクトル！みたいな扱いをしたりします。（かなりいいかげんな例ですが。）

最初はなんでこんな難しそうに聞こえる（頭が良さそうに聞こえる）表現をするんだろうな～と思っていましたが、ベクトルとして扱う事で、内積などのベクトルの演算が使えたり、行列としても扱えたりするので、それなりのメリットも出てきます。

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奇関数・偶関数でも説明したように、

関数ｆ（ｘ）が奇関数の場合、-a～aの範囲での積分は

関数ｆ（ｘ）が偶関数の場合、-a～aの範囲での積分は

となります。

一般的な式では奇関数と偶関数に分けて積分を行います。

（計算例）

となります。

こうする事で計算量を格段に減らす事ができます。

現実的には積分の範囲が-a～aになる事はまれで、普通はa~bのような任意範囲で積分する場合が多いかと思います。

そこで、グラフ（関数）全体をaとbの中心[(a+b) / 2]が原点位置に来るように平行移動を行い、積分範囲が原点に対し対称になるように調整します。

（この処理を行っても積分の結果には影響はありません。）

こうする事で、一般的な積分においても、奇関数・偶関数の特徴を用いる事が可能となります。

なぜ、わざわざそんな事をするかと言うと、積分の部分をfor文に置き換えて関数の合計を計算するプログラムを考えると、この奇関数・偶関数の特徴を用いると計算量が、

奇関数の部分で０へ

偶関数の部分で半分に

減らせる可能性があるので、トータルで1/4に計算量を減らせるかも？しれないので、その分、処理が高速になります。

その例を最小二乗法の最適化で紹介しています。

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逆行列の計算では行数と列数が等しい正方行列のみ計算が可能でした。
しかし、下記のようにn個の未知数（a₁～an）に対して、式がm本　（ｍ＞ｎ）ある場合、
逆行列を使って解くことができません。

上記式を行列であらわすと

となり、行列部分を記号で書くと

・・・式①

のようになり行列Xに関して逆行列が求まれば、未知数の行列Aについて解く事が可能となります。

行列Xの行数が列数よりも多い時（未知数よりもデータ数が多い時）、擬似逆行列（一般逆行列ともいう）という物を使って、行列Aに関して近似的に解く事が可能となります。

擬似逆行列は、通常の逆行列と転置行列を使って、下記のように現されます。

・・・式②

この擬似逆行列を使って式①は

のように未知数を解く事が可能となります。

ちなみに、この計算は最小二乗法と同じ結果になるそうです。

という事で、この擬似逆行列を使って、Excelで近似式を求めてみたいと思います。

ExcelではXとYのデータのグラフを書くと、近似曲線の追加という機能を使えば簡単に求まります。

でも、この近似式をエクセルの計算を使って求めたいな～という事もあるかと思います。

そこで、擬似逆行列を使って、データを二次関数で近似する時の例で説明したいと思います。

まず、二次関数の一般式

を少し変形して

のようにします。このXとYに近似するｍ個のデータ（X, Y）を代入し、行列で表すと

のようになり、行列の各要素をエクセルで計算します。

次が少々難しいのですが、エクセルのワークシート関数の

• 行列の積：mmult
• 逆行列　：minverse
• 転置行列：transpose

を使って、疑似逆行列を求めます。

今回は未知数が３つなので、縦に３つのセルを選択し、

=MMULT(MMULT(MINVERSE(MMULT(TRANSPOSE(行列Xの範囲),行列Xの範囲)),TRANSPOSE(行列Xの範囲)),行列Yの範囲)

のように入力します。

（入力例）

=MMULT(MMULT(MINVERSE(MMULT(TRANSPOSE(B45:D54),B45:D54)),TRANSPOSE(B45:D54)),G45:G54)

のように入力し、Ctrl+Shift+Enterキーを同時に押すと、a1～a3が求まり、二次の近似式が求まります。

このエクセルのファイルはエクセルにより疑似逆行列の計算よりダウンロードできます。

エクセルで行列の計算は少し分かりづらいので、【Excel】行列の積、逆行列、転置行列の計算のページも参考にして下さい。

今回は二次関数の近似を行いましたが、これさえ知っていれば、未知数が定数で行列で式を表せればいいだけなので、かなり応用が効くと思います。

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最小二乗法を用いて曲線近似するとき、近似するＸ座標の値が等間隔に並んでいる場合、奇関数、偶関数の特性を使って最小二乗法を高速に処理することが可能になります。

例えば、画像中の線の中心位置や、エッジの位置をサブピクセル単位で求める場合などに有効です。

以下からは線の輝度値を２次曲線で近似して、線の中心を求める例を示します。

Ｘ方向の輝度値が最大となる座標付近の輝度値を抜き出し、２次式で近似すると
Ｘ座標が180と181との間に最大値がありそうな事が分かります。

この輝度値を二次式（Y = aX² + bX + c）で近似する場合、下記の行列の式を解くと二次式が求まります。

ここで、逆行列の中は奇関数、偶関数の集まりなので、輝度値データのＸ座標を中心座標(X = 180.5)で割り振ると

となります。
よって、奇関数、偶関数の特性から、行列の式は

となり、行列の計算量を減らすことができます。

また、近似するデータの個数が固定できるなら、逆行列の部分はあらかじめ計算しておく事ができるので、さらに計算量を減らすことができます。

これで、求める線の中心座標は近似曲線の頂点位置、つまり微分の値が０となる座標（Y’ = 0の座標）なので、

線の中心座標　= Ｘの中心座標 – b / 2a
(今回の例ではＸの中心座標 = 180.5)

となり、より高速に線の中心座標を求めることができるようになります。

この前提条件とした『Ｘ座標の値が等間隔に並んでいる場合』という部分ですが、画像処理においては、画素のX座標、Y座標を用いて、輝度値に関して近似する場合が多いので、for文などで、ある関数の総和などを求める場合には、この奇関数・偶関数が使えないか？検討してみると良いと思います。

このテクニックは計算量が格段に少なくなるので、効果的な場合が多いと思います。

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